Calcule, em função dos números reais a, b, c e d, o valor do determinante da matriz
(cccc 0 & a & 1 & 0 1 & b & -1 & 1 2 & c & 0 & -1 0 & d & 1 & 0 )

Passo 1

O enunciado pede o determinante da matriz
M = 0 & a & 1 & 0 1 & b & -1 & 1 2 & c & 0 & -1 0 & d & 1 & 0
em função de a,b,c,d. O conteúdo envolvido é o cálculo de determinantes de ordem 4 usando a expansão de Laplace e, em seguida, determinantes de 3times 3.

Passo 2

Vamos expandir det(M) pela primeira coluna. Denotando mi1 o elemento na linha i, coluna 1, e Mi1 o menor complementar, temos
det(M) = sumi=1^4 (-1)^i+1,mi1,det(Mi1)
Como m11=0 e m41=0, só contribuem i=2 (com m21=1) e i=3 (com m31=2):
det(M) = (-1)^2+1cdot1cdotdet(A) ;+;(-1)^3+1cdot2cdotdet(B) = -det(A) ;+;2,det(B),
once
A = M21 = a & 1 & 0 c & 0 & -1 d & 1 & 0 , B = M31 = a & 1 & 0 b & -1 & 1 d & 1 & 0

Passo 3

Calcular det(A) por expansão na primeira linha:
det(A) = adet!0 & -11 & 0 -1det!c & -1 d & 0 = a(0cdot0 - (-1)cdot1) -1l(ccdot0 - (-1)cdot dr) = a - d
Analogamente,
det(B) = adet!-1 & 11 & 0 -1det!b & 1 d & 0 = al((-1)cdot0-1cdot1r) -1l(bcdot0-1cdot dr) = -a + d

Passo 4

Substituindo em det(M) = -det(A)+2det(B):
det(M) = -(a - d) + 2(-a + d) = -a + d -2a +2d = -3a +3d = 3,(d - a)

Resposta

det(M) = 3,(d - a)

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