Quais dos seguintes subconjuntos I de Z abaixo são ideais de Z :
I=m in Z: 6 backslash m e 24 backslash m^2.

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o subconjunto
I = ,minZmid 6mid m e 24mid m^2
é um ideal de Z.
O conteúdo usado será a caracterização de ideais em Z (são todos da forma nZ) e propriedades de divisibilidade.

Passo 2

Para min I temos 6mid m, logo existe kinZ tal que
m = 6k
Além disso precisamos de 24mid m^2. Substituindo m=6k,
m^2 = 36k^2
Então a condição 24mid m^2 equivale a
24mid 36k^2 Long<=ftrightarrow 36k^224inZ Long<=ftrightarrow 3,k^22inZ
Isso significa que 2mid k^2, ou seja, k é par.

Passo 3

Como k é par, escrevemos k=2t com tinZ. Então
m = 6k = 6,(2t) = 12t
Portanto
I = ,12tmid tinZ = 12Z

Passo 4

Em Z todo ideal é principal, da forma nZ. Aqui encontramos I=12Z, que de fato é um ideal (é fechado sob soma, inversos e ainda Zcdot 12Zsubseteq12Z).

Resposta

O conjunto
I=minZmid 6mid m e 24mid m^2
é um ideal de Z, em particular I=12Z.

Exercícios relacionados