Se
são ideais de
. Prove que:
,
, é um ideal de
.
Passo 1
O enunciado diz que temos ideais
de
e define o conjunto
Queremos mostrar que
é um ideal de
. Para isso, vamos usar a definição de ideal num anel comutativo: precisamos provar que
-
é um subgrupo aditivo de , ou seja, contém , é fechado sob soma e sob inverso aditivo; - para todo
e todo , temos .
Passo 2
Mostramos primeiro que
é um subgrupo aditivo. Note que, como cada
é ideal, temos
. Logo
ou seja,
não está vazio. Agora, tomemos dois elementos quaisquer de
, digamos
com
. Então
Como cada
é ideal (em particular, subgrupo aditivo), temos
. Logo
. Do mesmo modo, o inverso aditivo de
é
e como
, temos
. Assim,
é fechado sob soma e inversos, logo é subgrupo aditivo de
.
Passo 3
Agora mostramos a estabilidade sob multiplicação por elementos de
. Seja
e
. Então
Mas como cada
é ideal,
. Portanto
. Isso prova que
é absorvente à direita e à esquerda (no caso de anel comutativo basta um lado).
Resposta
Como
é subgrupo aditivo e estável por multiplicação por qualquer
, concluímos que
é de fato um ideal de
.