Se I1, I2, ldots, Ir são ideais de Z. Prove que:
I1+I2+ldots+Ir=x1+x2+ldots+xr: xj in Ij, j=1,2, ldots, r, é um ideal de Z.

Passo 1

O enunciado diz que temos ideais I1,I2,dots,Ir de Z e define o conjunto
I = I1 + I2 + cdots + Ir = ,x1 + x2 + cdots + xr : xjin Ij,
Queremos mostrar que I é um ideal de Z. Para isso, vamos usar a definição de ideal num anel comutativo: precisamos provar que
  1. I é um subgrupo aditivo de Z, ou seja, contém 0, é fechado sob soma e sob inverso aditivo;
  2. para todo zinZ e todo ain I, temos z,ain I.

Passo 2

Mostramos primeiro que I é um subgrupo aditivo. Note que, como cada Ij é ideal, temos 0in Ij. Logo
0 = 0 + 0 + cdots + 0 in I,
ou seja, I não está vazio. Agora, tomemos dois elementos quaisquer de I, digamos
a = x1 + cdots + xr, b = y1 + cdots + yr
com xj,yjin Ij. Então
a + b = (x1+y1) + cdots + (xr+yr)
Como cada Ij é ideal (em particular, subgrupo aditivo), temos xj+yjin Ij. Logo a+bin I. Do mesmo modo, o inverso aditivo de a é
-a = (-x1) + cdots + (-xr),
e como -xjin Ij, temos -ain I. Assim, I é fechado sob soma e inversos, logo é subgrupo aditivo de Z.

Passo 3

Agora mostramos a estabilidade sob multiplicação por elementos de Z. Seja zinZ e a = x1 + cdots + xrin I. Então
z,a = z,x1 + cdots + z,xr
Mas como cada Ij é ideal, z,xjin Ij. Portanto z,ain I. Isso prova que I é absorvente à direita e à esquerda (no caso de anel comutativo basta um lado).

Resposta

Como I é subgrupo aditivo e estável por multiplicação por qualquer zinZ, concluímos que
I = I1 + I2 + cdots + Ir
é de fato um ideal de Z.

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