Calcule as funções derivadas das funções:
f(t)=\left(\frac{t^{2}}{t^{3}-4 t}\right)^{3}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada da função
f(t)=\left(\frac{t^{2}}{t^{3}-4t}\right)^{3}.
Informações dadas:
  • A função é uma potência de outra função: primeiro temos u(t)=\dfrac{t^{2}}{t^{3}-4t} e depois f(t)=\bigl(u(t)\bigr)^{3}.
  • O denominador t^{3}-4t é zero quando t=0 ou t=\pm 2; portanto a função não está definida nesses pontos (vou lembrar disso ao simplificar).
    O que se pede:
  • Calcular f'(t), a derivada de f em termos de t.

Passo 2

Escolha do método: vamos usar a regra da cadeia combinada com a regra do quociente. Explico as regras de forma didática.
Regra da cadeia (o que é e por que usar): se temos f(t)=g(h(t)), então
f'(t)=g'\bigl(h(t)\bigr)\cdot h'(t).
Aqui g(x)=x^{3} e h(t)=u(t)=\dfrac{t^{2}}{t^{3}-4t}. Para g(x)=x^{3} sabemos que g'(x)=3x^{2}. Assim
f'(t)=3\bigl(u(t)\bigr)^{2}\cdot u'(t).
Portanto precisamos achar u'(t).
Regra do quociente (o que é e quando usar): para u(t)=\dfrac{N(t)}{D(t)} com N e D diferenciáveis e D\neq 0,
u'(t)=\frac{N'(t)D(t)-N(t)D'(t)}{\bigl(D(t)\bigr)^{2}}.
Aqui N(t)=t^{2} e D(t)=t^{3}-4t. Vou aplicar essa fórmula passo a passo.

Passo 3

Calcule as derivadas de N e D:
N(t)=t^{2}\quad\Rightarrow\quad N'(t)=2t.
D(t)=t^{3}-4t\quad\Rightarrow\quad D'(t)=3t^{2}-4.
Esses são passos básicos: derivada de t^{2} é 2t; derivada de t^{3} é 3t^{2} e de -4t é -4.

Passo 4

Agora aplique a regra do quociente para obter u'(t):
u'(t)=\frac{2t\cdot\bigl(t^{3}-4t\bigr)-t^{2}\cdot\bigl(3t^{2}-4\bigr)}{\bigl(t^{3}-4t\bigr)^{2}}.
Vou desenvolver o numerador cuidadosamente para não errar.

Passo 5

Desenvolvendo os produtos do numerador:
2t\cdot\bigl(t^{3}-4t\bigr)=2t^{4}-8t^{2},
t^{2}\cdot\bigl(3t^{2}-4\bigr)=3t^{4}-4t^{2}.
Subtraindo esses termos (pela fórmula N'D-ND'):
(2t^{4}-8t^{2})-(3t^{4}-4t^{2})=2t^{4}-8t^{2}-3t^{4}+4t^{2}=-t^{4}-4t^{2}.
Fatorando -t^{2} no numerador:
-t^{4}-4t^{2}=-t^{2}\bigl(t^{2}+4\bigr).
Portanto
u'(t)=\frac{-t^{2}\bigl(t^{2}+4\bigr)}{\bigl(t^{3}-4t\bigr)^{2}}.

Passo 6

Agora volte à regra da cadeia: f'(t)=3\bigl(u(t)\bigr)^{2}\cdot u'(t). Substituindo u(t)=\dfrac{t^{2}}{t^{3}-4t} e u'(t) encontrado,
f'(t)=3\left(\frac{t^{2}}{t^{3}-4t}\right)^{2}\cdot\frac{-t^{2}\bigl(t^{2}+4\bigr)}{\bigl(t^{3}-4t\bigr)^{2}}.
Agora simplificamos fatores iguais no numerador e denominador passo a passo.

Passo 7

Multiplicando os fatores:
  • O numerador fica 3\cdot t^{4}\cdot\bigl(-t^{2}(t^{2}+4)\bigr)=-3t^{6}(t^{2}+4) porque \bigl(t^{2}\bigr)^{2}=t^{4} e multiplicando por -t^{2}(t^{2}+4) -t^{6}(t^{2}+4) e o 3 fica multiplicando.
  • O denominador é \bigl(t^{3}-4t\bigr)^{2}\cdot\bigl(t^{3}-4t\bigr)^{2}=\bigl(t^{3}-4t\bigr)^{4}.
Assim obtemos
f'(t)=\frac{-3t^{6}\bigl(t^{2}+4\bigr)}{\bigl(t^{3}-4t\bigr)^{4}}.

Passo 8

Podemos simplificar um pouco fatorando t em \bigl(t^{3}-4t\bigr)=t(t^{2}-4). Então
\bigl(t^{3}-4t\bigr)^{4}=t^{4}\bigl(t^{2}-4\bigr)^{4}.
Cancelando t^{4} no numerador e denominador (lembrando que isso só é algebraicamente válido para t\neq 0, e que originalmente a função não está definida em t=0,\pm2), obtemos a forma mais simples
f'(t)=\frac{-3t^{2}\bigl(t^{2}+4\bigr)}{\bigl(t^{2}-4\bigr)^{4}}.
Observação importante: mesmo após cancelar t, as restrições de domínio permanecem — f (e portanto f') não existem em t=0 nem em t=\pm2.

Passo 9

Pequeno exemplo para fixar a ideia (didática extra): se tivéssemos g(x)=(\sin x)^{3}, aplicaríamos a mesma cadeia: g'(x)=3(\sin x)^{2}\cdot\cos x. Aqui o papel de \sin x é análogo ao de u(t) na nossa função.

Resposta

f'(t)=\frac{-3t^{6}\bigl(t^{2}+4\bigr)}{\bigl(t^{3}-4t\bigr)^{4}}=\frac{-3t^{2}\bigl(t^{2}+4\bigr)}{\bigl(t^{2}-4\bigr)^{4}}

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