Calcule as funções derivadas das funções:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a derivada da função
Informações dadas:
- A função é uma potência de outra função: primeiro temos
e depois . - O denominador
é zero quando ou ; portanto a função não está definida nesses pontos (vou lembrar disso ao simplificar).
O que se pede: - Calcular
, a derivada de em termos de .
Passo 2
Escolha do método: vamos usar a regra da cadeia combinada com a regra do quociente. Explico as regras de forma didática.
Regra da cadeia (o que é e por que usar): se temos
, então
Aqui
e
. Para
sabemos que
. Assim
Portanto precisamos achar
.
Regra do quociente (o que é e quando usar): para
com
e
diferenciáveis e
,
Aqui
e
. Vou aplicar essa fórmula passo a passo.
Passo 3
Calcule as derivadas de
e
:
Esses são passos básicos: derivada de
é
; derivada de
é
e de
é
.
Passo 4
Agora aplique a regra do quociente para obter
:
Vou desenvolver o numerador cuidadosamente para não errar.
Passo 5
Desenvolvendo os produtos do numerador:
Subtraindo esses termos (pela fórmula
):
Fatorando
no numerador:
Portanto
Passo 6
Agora volte à regra da cadeia:
. Substituindo
e
encontrado,
Agora simplificamos fatores iguais no numerador e denominador passo a passo.
Passo 7
Multiplicando os fatores:
- O numerador fica
porque e multiplicando por dá e o fica multiplicando. - O denominador é
.
Assim obtemos
Passo 8
Podemos simplificar um pouco fatorando
em
. Então
Cancelando
no numerador e denominador (lembrando que isso só é algebraicamente válido para
, e que originalmente a função não está definida em
), obtemos a forma mais simples
Observação importante: mesmo após cancelar
, as restrições de domínio permanecem —
(e portanto
) não existem em
nem em
.
Passo 9
Pequeno exemplo para fixar a ideia (didática extra): se tivéssemos
, aplicaríamos a mesma cadeia:
. Aqui o papel de
é análogo ao de
na nossa função.