Questão 5 - (1,5 pontos)
a) Qual o dominio de f(x)=\frac{\epsilon^{x}}{1+x^{2}} ?
b) Por que podemos garantir que f tem valor máximo e valor mínimo em [0,3] ?
c) Encontre esses valores, no intervalo dado. \left(\frac{e^{2}}{5}>1\right)

Passo 1

O enunciado pede três coisas sobre a função f dada por
f(x)=\frac{e^{x}}{1+x^{2}}.
As perguntas são:
a) Qual o domínio de f?
b) Por que podemos garantir que f tem valor máximo e valor mínimo em [0,3]?
c) Encontre esses valores (máximo e mínimo) no intervalo [0,3].
Foi dada ainda a sugestão numérica \left(\frac{e^{2}}{5}>1\right).

Passo 2

Vamos achar o domínio. Lembre que uma função dada por uma fração \frac{g(x)}{h(x)} tem domínio formado pelos x onde g(x) e h(x) estão definidos e h(x)\neq0.
  • A função e^{x} está definida para todo x\in\mathbb{R}. Então o numerador não traz restrição.
  • O denominador é 1+x^{2}. Observa que x^{2}\ge 0 para todo x, então 1+x^{2}\ge 1>0. Em particular, 1+x^{2} nunca é zero.
Portanto não há x excluído: o domínio é todo o conjunto dos números reais.

Passo 3

Agora explico por que podemos garantir existência de máximo e mínimo em [0,3].
  • Primeiro, propriedades de continuidade: e^{x} é contínua em \mathbb{R}; x\mapsto 1+x^{2} é contínua; e a razão de duas funções contínuas é contínua onde o denominador não é zero. Como vimos 1+x^{2}\neq0 em [0,3], a função f é contínua em todo [0,3]. (Aqui eu usei a ideia: “quociente de contínuas é contínua quando denominador não zera”.)
  • Segundo, o intervalo [0,3] é fechado e limitado (ou seja, compacto em \mathbb{R}).
  • Teorema (Valor Extremo / Teorema de Weierstrass): uma função contínua em um intervalo compacto atinge um valor máximo e um valor mínimo nesse intervalo.
Conclusão: como f é contínua em [0,3] e [0,3] é compacto, pelo teorema, f tem valor máximo e mínimo em [0,3].

Passo 4

Para encontrar onde ocorrem o máximo e o mínimo, vamos estudar os pontos críticos usando a derivada e também avaliar as extremidades. Primeiro calculamos f'(x) usando a regra do quociente. A regra do quociente diz que, para f(x)=\dfrac{u(x)}{v(x)},
f'(x)=\frac{u'(x)v(x)-u(x)v'(x)}{[v(x)]^{2}}.
Aqui u(x)=e^{x} e v(x)=1+x^{2}. Então u'(x)=e^{x} e v'(x)=2x. Aplicando a regra:
f'(x)=\frac{e^{x}(1+x^{2})-e^{x}\cdot 2x}{(1+x^{2})^{2}}.
Fatorando e^{x} no numerador:
f'(x)=\frac{e^{x}\bigl(1+x^{2}-2x\bigr)}{(1+x^{2})^{2}}.
Note que 1+x^{2}-2x = x^{2}-2x+1=(x-1)^{2}. Assim
f'(x)=\frac{e^{x}(x-1)^{2}}{(1+x^{2})^{2}}.

Passo 5

Analisando o sinal de f'(x):
  • Sabemos que e^{x}>0 para todo x.
  • Sabemos que (1+x^{2})^{2}>0 para todo x.
  • E (x-1)^{2}\ge 0 para todo x, sendo igual a zero somente quando x=1.
Portanto f'(x)\ge 0 para todo x, e f'(x)=0 apenas em x=1. Isso significa que f é uma função não decrescente em toda a reta; mais fortemente, é estritamente crescente exceto no ponto isolado x=1, onde a derivada é zero mas não há mudança de sinal. Consequência prática: no intervalo [0,3] a função cresce quando andamos de x=0 para x=3. Logo o valor mínimo em [0,3] ocorre em x=0 e o valor máximo ocorre em x=3.
(Dica intuitiva: se f'(x)\ge0 para todo x então, para a<b, f(b)\ge f(a). Assim extremos em um intervalo fechado ocorrem nas pontas quando não há interior com mudança de sinal que gere máximo interior.)

Passo 6

Agora avalio f nos pontos relevantes:
  • Em x=0:
f(0)=\frac{e^{0}}{1+0^{2}}=\frac{1}{1}=1.
  • Em x=1 (ponto crítico, só para conferir):
f(1)=\frac{e^{1}}{1+1^{2}}=\frac{e}{2}.
  • Em x=3:
f(3)=\frac{e^{3}}{1+3^{2}}=\frac{e^{3}}{10}.
Como estabelecido no passo anterior, o mínimo em [0,3] é f(0)=1 e o máximo é f(3)=\dfrac{e^{3}}{10}. Para confirmar numericamente: e^{3}/10\approx 2{,}008>1, então faz sentido f(3) ser maior que f(0). A sugestão do enunciado \left(\dfrac{e^{2}}{5}>1\right) também indica que produtos relacionados são maiores que 1, mas não é necessária aqui porque a monotonicidade já garante a ordenação.

Resposta

a) \mathbb{R}
b) Porque f é contínua em [0,3] (quociente de contínuas com denominador não nulo) e [0,3] é compacto; pelo teorema de Weierstrass f atinge máximo e mínimo em [0,3].
c) Valor mínimo: f(0)=1 (em x=0).
Valor máximo: f(3)=\dfrac{e^{3}}{10} (em x=3).

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