Questão 5 - (1,5 pontos)
a) Qual o dominio de
?
b) Por que podemos garantir que
tem valor máximo e valor mínimo em
?
c) Encontre esses valores, no intervalo dado.
a) Qual o dominio de
b) Por que podemos garantir que
c) Encontre esses valores, no intervalo dado.
Passo 1
O enunciado pede três coisas sobre a função
dada por
As perguntas são:
a) Qual o domínio de ?
b) Por que podemos garantir que tem valor máximo e valor mínimo em
?
c) Encontre esses valores (máximo e mínimo) no intervalo .
Foi dada ainda a sugestão numérica .
a) Qual o domínio de
b) Por que podemos garantir que
c) Encontre esses valores (máximo e mínimo) no intervalo
Foi dada ainda a sugestão numérica
Passo 2
Vamos achar o domínio. Lembre que uma função dada por uma fração
tem domínio formado pelos
onde
e
estão definidos e
.
- A função
está definida para todo . Então o numerador não traz restrição. - O denominador é
. Observa que para todo , então . Em particular, nunca é zero.
Portanto não há
excluído: o domínio é todo o conjunto dos números reais.
Passo 3
Agora explico por que podemos garantir existência de máximo e mínimo em
.
- Primeiro, propriedades de continuidade:
é contínua em ; é contínua; e a razão de duas funções contínuas é contínua onde o denominador não é zero. Como vimos em , a função é contínua em todo . (Aqui eu usei a ideia: “quociente de contínuas é contínua quando denominador não zera”.) - Segundo, o intervalo
é fechado e limitado (ou seja, compacto em ). - Teorema (Valor Extremo / Teorema de Weierstrass): uma função contínua em um intervalo compacto atinge um valor máximo e um valor mínimo nesse intervalo.
Conclusão: como
é contínua em
e
é compacto, pelo teorema,
tem valor máximo e mínimo em
.
Passo 4
Para encontrar onde ocorrem o máximo e o mínimo, vamos estudar os pontos críticos usando a derivada e também avaliar as extremidades. Primeiro calculamos
usando a regra do quociente. A regra do quociente diz que, para
,
Aqui
e
. Então
e
. Aplicando a regra:
Fatorando
no numerador:
Note que
. Assim
Passo 5
Analisando o sinal de
:
- Sabemos que
para todo . - Sabemos que
para todo . - E
para todo , sendo igual a zero somente quando .
Portanto
para todo
, e
apenas em
. Isso significa que
é uma função não decrescente em toda a reta; mais fortemente, é estritamente crescente exceto no ponto isolado
, onde a derivada é zero mas não há mudança de sinal. Consequência prática: no intervalo
a função cresce quando andamos de
para
. Logo o valor mínimo em
ocorre em
e o valor máximo ocorre em
.
(Dica intuitiva: se
para todo
então, para
,
. Assim extremos em um intervalo fechado ocorrem nas pontas quando não há interior com mudança de sinal que gere máximo interior.)
Passo 6
Agora avalio
nos pontos relevantes:
- Em
:
- Em
(ponto crítico, só para conferir):
- Em
:
Como estabelecido no passo anterior, o mínimo em
é
e o máximo é
. Para confirmar numericamente:
, então faz sentido
ser maior que
. A sugestão do enunciado
também indica que produtos relacionados são maiores que
, mas não é necessária aqui porque a monotonicidade já garante a ordenação.
Resposta
a)
b) Porque é contínua em
(quociente de contínuas com denominador não nulo) e
é compacto; pelo teorema de Weierstrass
atinge máximo e mínimo em
.
c) Valor mínimo: (em
).
Valor máximo: (em
).
b) Porque
c) Valor mínimo:
Valor máximo: