Calcule as funções derivadas das funções:
f(t)=\operatorname{sen}^{2}(\pi t-2) (derivada de segunda ordem)

Passo 1

O enunciado dá a função \displaystyle f(t)=\sin^{2}\bigl(\pi t-2\bigr) e pede a derivada de segunda ordem (ou seja, calcular a primeira e a segunda derivada de f).
Informações importantes fornecidas:
  • A variável independente é t.
  • A função é a composição de uma função trigonométrica com uma potência: f(t)=[\sin(\cdot)]^{2}.
  • \pi é uma constante (número).
    Objetivo concreto: encontrar \displaystyle f'(t) e \displaystyle f''(t).

Passo 2

Revisão das regras que vamos usar (com explicações bem simples):
  • Regra da cadeia (ideia): se F(t)=G(H(t)), então
F'(t)=G'\bigl(H(t)\bigr)\cdot H'(t).
Aqui G é a função externa e H a interna; você deriva a externa avaliando na interna e multiplica pela derivada da interna.
  • Derivada de uma potência simples: se G(x)=x^{2}, então G'(x)=2x.
  • Derivada do seno: se h(x)=\sin(x), então h'(x)=\cos(x).
  • Identidade trigonométrica útil para simplificar: 2\sin(\theta)\cos(\theta)=\sin(2\theta).
Vou aplicar essas regras passo a passo na função dada.

Passo 3

Primeiro identifiquemos as funções internas/externas para aplicar a cadeia de forma organizada. Defina
w(t)=\sin\bigl(\pi t-2\bigr),
então
f(t)=\bigl(w(t)\bigr)^{2}.
Aplicando a regra da cadeia para f(t)=(w(t))^{2}:
f'(t)=2\,w(t)\cdot w'(t).
Agora precisamos de w'(t). Como w(t)=\sin(v(t)) com v(t)=\pi t-2, pela cadeia:
w'(t)=\cos\bigl(v(t)\bigr)\cdot v'(t).
Como v(t)=\pi t-2 é linear, sua derivada é v'(t)=\pi. Logo
w'(t)=\cos\bigl(\pi t-2\bigr)\cdot \pi.

Passo 4

Substituindo w(t) e w'(t) em f'(t)=2\,w(t)\cdot w'(t) obtemos:
f'(t)=2\sin\bigl(\pi t-2\bigr)\cdot\bigl(\pi\cos(\pi t-2)\bigr).
Agrupando os fatores:
f'(t)=2\pi\,\sin\bigl(\pi t-2\bigr)\cos\bigl(\pi t-2\bigr).
Aplicando a identidade trigonométrica 2\sin\alpha\cos\alpha=\sin(2\alpha) com \alpha=\pi t-2, simplificamos para
f'(t)=\pi\,\sin\bigl(2(\pi t-2)\bigr).

Passo 5

Agora calculamos a derivada de f'(t) para obter f''(t). Escrevemos a primeira derivada numa forma conveniente:
f'(t)=\pi\sin\bigl(s(t)\bigr),
onde \displaystyle s(t)=2(\pi t-2)=2\pi t-4. Pela cadeia, a derivada é
f''(t)=\pi\cdot\cos\bigl(s(t)\bigr)\cdot s'(t).
Como s(t)=2\pi t-4 tem derivada s'(t)=2\pi, obtemos
f''(t)=\pi\cdot\cos\bigl(2(\pi t-2)\bigr)\cdot 2\pi.
Multiplicando os coeficientes \pi e 2\pi:
f''(t)=2\pi^{2}\,\cos\bigl(2(\pi t-2)\bigr).

Passo 6

Resumo/checagem rápida (ideia de verificação mental): as dimensões estão corretas (potências de \pi aparecem conforme são geradas por derivadas de termos lineares em t) e a forma trigonométrica é consistente com as regras usadas. Se quisermos expandir o argumento, poderíamos escrever 2(\pi t-2)=2\pi t-4, então as respostas equivalem a expressões com argumento 2\pi t-4.

Resposta

f'(t)=\pi\,\sin\bigl(2(\pi t-2)\bigr)
f''(t)=2\pi^{2}\,\cos\bigl(2(\pi t-2)\bigr)

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