Calcule as funções derivadas das funções:
(derivada de segunda ordem)
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede a derivada de segunda ordem (ou seja, calcular a primeira e a segunda derivada de
).
Informações importantes fornecidas:
Informações importantes fornecidas:
- A variável independente é
. - A função é a composição de uma função trigonométrica com uma potência:
. -
é uma constante (número).
Objetivo concreto: encontrare .
Passo 2
Revisão das regras que vamos usar (com explicações bem simples):
- Regra da cadeia (ideia): se
, então
Aqui
é a função externa e
a interna; você deriva a externa avaliando na interna e multiplica pela derivada da interna.
- Derivada de uma potência simples: se
, então . - Derivada do seno: se
, então . - Identidade trigonométrica útil para simplificar:
.
Vou aplicar essas regras passo a passo na função dada.
Passo 3
Primeiro identifiquemos as funções internas/externas para aplicar a cadeia de forma organizada. Defina
então
Aplicando a regra da cadeia para
:
Agora precisamos de
. Como
com
, pela cadeia:
Como
é linear, sua derivada é
. Logo
Passo 4
Substituindo
e
em
obtemos:
Agrupando os fatores:
Aplicando a identidade trigonométrica
com
, simplificamos para
Passo 5
Agora calculamos a derivada de
para obter
. Escrevemos a primeira derivada numa forma conveniente:
onde
. Pela cadeia, a derivada é
Como
tem derivada
, obtemos
Multiplicando os coeficientes
e
:
Passo 6
Resumo/checagem rápida (ideia de verificação mental): as dimensões estão corretas (potências de
aparecem conforme são geradas por derivadas de termos lineares em
) e a forma trigonométrica é consistente com as regras usadas. Se quisermos expandir o argumento, poderíamos escrever
, então as respostas equivalem a expressões com argumento
.