Calcule fx x, fx y=fy x e fy y para as seguintes funções.
(x+i y)^3.

Passo 1

O enunciado pede as segundas derivadas parciais de
f(x,y) = (x+i y)^3
em relação a x e y.
O que vamos usar é a regra da cadeia: se definirmos z = x + i y então
f(x,y) = z^3,
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fx = partial fpartial z,zx, fy = partial fpartial z,zy,
sabendo que partial f/partial z = 3z^2, zx=1 e zy=i.

Passo 2

Calculamos primeiro as derivadas de primeira ordem:
fx = 3z^2 cdot 1 = 3z^2, fy = 3z^2 cdot i = 3i,z^2

Passo 3

Agora obtemos fxx e fxy derivando fx:
fxx = partialpartial x(3z^2) = 3cdot2,zcdot zx = 6zcdot1 = 6z,
fxy = partialpartial y(3z^2) = 3cdot2,zcdot zy = 6zcdot i = 6i,z

Passo 4

Como fyx troca a ordem, mas as funções são suficientes vezes diferenciáveis, temos
fyx = fxy = 6i,z

Passo 5

Finalmente calculamos fyy derivando fy em relação a y:
fyy = partialpartial y(3i,z^2) = 3icdot2,zcdot zy = 6i,zcdot i = 6i^2,z = -6z

Resposta

fxx = 6,(x+i y), fxy=fyx = 6i,(x+i y), fyy = -6,(x+i y)

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