Determine uma expansão em série de potências para a solução do problema de valor inicial
Esta função é um caso particular das denominadas funções de Bessel.
Passo 1
O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial
que é a equação de Bessel de ordem zero. Vamos procurar uma solução em série de potências centrada em
, ou seja, do tipo
Passo 2
Calculamos as derivadas em série:
Passo 3
Substituindo em
e recolhendo em potências de
, obtemos
onde entendemos
para
. Assim
Passo 4
Das condições iniciais segue
e
Pela recorrência para
vem
, e para
Isto mostra que todos os
com
ímpar são zero, restando apenas os termos pares.
Passo 5
Para
a recorrência iterada dá
Logo a solução em série é