Determine uma expansão em série de potências para a solução do problema de valor inicial
x^2 y^prime prime+x y^prime+x^2 y=0 ; y(0)=1, y^prime(0)=0
Esta função é um caso particular das denominadas funções de Bessel.

Passo 1

O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial
x^2y'' + x,y' + x^2y = 0, y(0)=1,;y'(0)=0,
que é a equação de Bessel de ordem zero. Vamos procurar uma solução em série de potências centrada em x=0, ou seja, do tipo
y(x)=sumn=0^inftyan x^n

Passo 2

Calculamos as derivadas em série:
y'(x)=sumn=1^inftyn,an x^n-1, y''(x)=sumn=2^inftyn(n-1),an x^n-2

Passo 3

Substituindo em x^2y''+x,y'+x^2y=0 e recolhendo em potências de x^n, obtemos
sumn=0^inftyn(n-1),an x^n +sumn=0^inftyn,an x^n +sumn=0^inftyan-2,x^n =0,
onde entendemos an-2=0 para n<2. Assim
sumn=0^inftyl(n^2,an + an-2r)x^n=0 Longrightarrow n^2,an + an-2=0(forall n>=0)

Passo 4

Das condições iniciais segue a0=y(0)=1 e
y'(0)=a1=0
Pela recorrência para n=1 vem a1=0, e para n>=2
an = -an-2n^2
Isto mostra que todos os an com n ímpar são zero, restando apenas os termos pares.

Passo 5

Para n=2m a recorrência iterada dá
a2m = (-1)^m(2m)^2(2m-2)^2cdots2^2,a0 = (-1)^m2^2m(m!)^2
Logo a solução em série é
y(x)=summ=0^inftya2m,x^2m =summ=0^infty(-1)^m(m!)^2l(x2r)^2m

Resposta

y(x)=summ=0^infty(-1)^m(m!)^2l(x2r)^2m

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