Calcule fx x, fx y=fy x e fy y para as seguintes funções.
1 /(x^2+y^2).

Passo 1

O enunciado nos dá a função
f(x,y)=1x^2+y^2
e pede as derivadas parciais de segunda ordem fxx, fxy=fyx e fyy. Vamos usar a regra da cadeia para calcular as derivadas de primeira ordem e depois a regra do produto (quando necessário) para chegar às segundas ordens.

Passo 2

Calculamos primeiro as derivadas de primeira ordem. Escrevendo f(x,y)=(x^2+y^2)^-1, pela regra da cadeia:
fx = -1cdot(x^2+y^2)^-2cdot 2x = -2x,(x^2+y^2)^-2,
fy = -1cdot(x^2+y^2)^-2cdot 2y = -2y,(x^2+y^2)^-2

Passo 3

Para fxx derivamos fx=-2x,(x^2+y^2)^-2 em relação a x. Usamos produto e cadeia:
fxx = -2,(x^2+y^2)^-2 + (-2x)cdotl(-2r),(x^2+y^2)^-3cdot 2x = -2,(x^2+y^2)^-2 + 8x^2,(x^2+y^2)^-3
Colocando sobre o mesmo denominador:
fxx = -2(x^2+y^2)+8x^2(x^2+y^2)^3 = 6x^2-2y^2(x^2+y^2)^3

Passo 4

Para fyy derivamos fy=-2y,(x^2+y^2)^-2 em relação a y. Pelo mesmo raciocínio:
fyy = -2,(x^2+y^2)^-2 + (-2y)cdotl(-2r),(x^2+y^2)^-3cdot 2y = -2,(x^2+y^2)^-2 + 8y^2,(x^2+y^2)^-3,
fyy = -2(x^2+y^2)+8y^2(x^2+y^2)^3 = 6y^2-2x^2(x^2+y^2)^3

Passo 5

Para fxy derivamos fx=-2x,(x^2+y^2)^-2 em relação a y, tratando x como constante:
fxy = -2xcdotl(-2r),(x^2+y^2)^-3cdot 2y = 8xy,(x^2+y^2)^-3
Pelo teorema de Schwarz, fyx=fxy.

Resposta

fxx = 6x^2-2y^2(x^2+y^2)^3
fxy = 8xy(x^2+y^2)^3
fyy = 6y^2-2x^2(x^2+y^2)^3

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