Calcule fx x, fx y=fy x e fy y para as seguintes funções.
e^a x+b y.

Passo 1

O enunciado pede as derivadas parciais de segunda ordem de
f(x,y)=e^a x + b y
O conteúdo utilizado será cálculo de derivadas parciais e aplicação da regra da cadeia, lembrando que a e b são constantes.

Passo 2

Primeiro calculamos as derivadas de primeira ordem. Seja u=a x + b y, então f=e^u e
partial fpartial x = e^u,partial upartial x = a,e^a x + b y,
partial fpartial y = e^u,partial upartial y = b,e^a x + b y

Passo 3

Agora aplicamos novamente a regra da cadeia para obter as derivadas de segunda ordem:
fxx = partialpartial xl(a,e^a x + b yr) = acdot a,e^a x + b y = a^2,e^a x + b y,
fxy = partialpartial yl(a,e^a x + b yr) = acdot b,e^a x + b y = a,b,e^a x + b y,
fyy = partialpartial yl(b,e^a x + b yr) = bcdot b,e^a x + b y = b^2,e^a x + b y
Pela igualdade das derivadas mistas em funções de classe C^2, temos também fyx=fxy.

Resposta

fxx=a^2e^a x + b y, fxy=fyx=a,b,e^a x + b y, fyy=b^2e^a x + b y

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