Verifique que as funções
e
geram um conjunto fundamental de soluções da equação
e determine a solução geral da equação e a solução particular que satisfaz
,
.
Passo 1
O enunciado dá a equação linear de segunda ordem
e afirma que
são soluções e formam um conjunto fundamental. Vamos primeiro verificar cada solução, depois checar que o Wronskiano é não-nulo, em seguida escrever a solução geral e, por fim, ajustar as constantes para as condições
,
.
Passo 2
Verificação de
. Calculamos
Substituindo na equação:
logo
é solução.
Passo 3
Verificação de
. Calculamos
Substituindo:
confirmando que
também satisfaz a equação.
Passo 4
Cálculo do Wronskiano
Como
para
, as soluções são linearmente independentes e formam um conjunto fundamental.
Passo 5
Da teoria de equações lineares, a solução geral é
com
constantes a determinar.
Passo 6
Impondo
Depois,
O sistema
subtraindo a segunda da primeira dá , ou seja
.
Resposta
Solução geral:
Solução particular com
,
: