Verifique que as funções y1(t)=e^t e y2(t)=t^2+2 t+2 geram um conjunto fundamental de soluções da equação
t y^prime prime-(t+2) y^prime+2 y=0
e determine a solução geral da equação e a solução particular que satisfaz y(1)=0, y^prime(1)=1.

Passo 1

O enunciado dá a equação linear de segunda ordem
t,y''-(t+2),y'+2,y=0
e afirma que
y1(t)=e^t, y2(t)=t^2+2t+2
são soluções e formam um conjunto fundamental. Vamos primeiro verificar cada solução, depois checar que o Wronskiano é não-nulo, em seguida escrever a solução geral e, por fim, ajustar as constantes para as condições y(1)=0, y'(1)=1.

Passo 2

Verificação de y1(t)=e^t. Calculamos
y1'(t)=e^t, y1''(t)=e^t
Substituindo na equação:
t,e^t-(t+2),e^t+2,e^t =l(t-(t+2)+2r)e^t =0cdot e^t=0,
logo y1 é solução.

Passo 3

Verificação de y2(t)=t^2+2t+2. Calculamos
y2'(t)=2t+2, y2''(t)=2
Substituindo:
tcdot2-(t+2)(2t+2)+2(t^2+2t+2) =2t-l(2t^2+6t+4r)+2t^2+4t+4 =0,
confirmando que y2 também satisfaz a equação.

Passo 4

Cálculo do Wronskiano
Como para , as soluções são linearmente independentes e formam um conjunto fundamental.

Passo 5

Da teoria de equações lineares, a solução geral é
y(t)=C1e^t+C2l(t^2+2t+2r),
com C1,C2 constantes a determinar.

Passo 6

Impondo
Depois,
O sistema
subtraindo a segunda da primeira dá , ou seja .

Resposta

Solução geral:
y(t)=C1e^t+C2l(t^2+2t+2r)
Solução particular com y(1)=0, y'(1)=1:
y(t)=5ee^t-l(t^2+2t+2r) =5e^,t-1-(t^2+2t+2)

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