Determine uma expansão em série de potências para os seguintes problemas de valor inicial
(1-x^2) y^prime prime-2 x y^prime=0 ; y(0)=0, y^prime(0)=1
Estas funções são casos particulares das denominadas funções de Legendre.

Passo 1

O enunciado pede para resolver por série de potências o problema de valor inicial
(1 - x^2),y'' - 2x,y' = 0, y(0)=0,;y'(0)=1,
que é o caso de ordem zero da equação de Legendre sem termo de y. Vamos supor uma solução em série de potências centrada em 0 e determinar os coeficientes via recorrência.

Passo 2

Suponha
y(x)=sumn=0^inftyanx^n
Então
y'(x)=sumn=1^inftyn,anx^n-1, y''(x)=sumn=2^inftyn(n-1),anx^n-2

Passo 3

Substituindo em (1 - x^2)y'' - 2x,y'=0 obtemos
sumn=2^inftyn(n-1)anx^n-2 - sumn=2^inftyn(n-1)anx^n - 2sumn=1^inftyn,anx^n =0
Reindexando o primeiro somatório com m=n-2 e juntando potências iguais de x^m, vem
summ=0^inftyl[(m+2)(m+1)am+2-m(m+1)amr]x^m=0
Daí a relação de recorrência para m>=0:
(m+2)(m+1),am+2=m(m+1),am Longrightarrow am+2=mm+2,am

Passo 4

Pelas condições iniciais temos
y(0)=a0=0, y'(0)=a1=1
Como a0=0, a recorrência gera todos os a2k=0. Para os índices ímpares m=2k+1 obtemos
a2k+3=2k+12k+3,a2k+1

Passo 5

Tomando a1=1 e usando indução com a fórmula de recorrência para os ímpares, mostra-se facilmente que
a2k+1=12k+1 para todo k>=0

Passo 6

Logo a solução fica
y(x)=sumk=0^inftya2k+1x^2k+1 =sumk=0^inftyx^2k+12k+1
Note que esta série coincide com a expansão de
tfrac12ln!l(tfrac1+x1-xr), isto é, com arctanh(x), mas o exercício pedia apenas a série de potências.

Resposta

y(x)=sumk=0^inftyx^2k+12k+1

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