Determine uma expansão em série de potências para os seguintes problemas de valor inicial
Estas funções são casos particulares das denominadas funções de Legendre.
Passo 1
O enunciado pede para resolver por série de potências o problema de valor inicial
que é o caso de ordem zero da equação de Legendre sem termo de
. Vamos supor uma solução em série de potências centrada em
e determinar os coeficientes via recorrência.
Passo 2
Suponha
Então
Passo 3
Substituindo em
obtemos
Reindexando o primeiro somatório com
e juntando potências iguais de
, vem
Daí a relação de recorrência para
:
Passo 4
Pelas condições iniciais temos
Como
, a recorrência gera todos os
. Para os índices ímpares
obtemos
Passo 5
Tomando
e usando indução com a fórmula de recorrência para os ímpares, mostra-se facilmente que
Passo 6
Logo a solução fica
Note que esta série coincide com a expansão de
, isto é, com
, mas o exercício pedia apenas a série de potências.