Determine uma expansão em série de potências para os seguintes problemas de valor inicial
(1-x^2) y^prime prime-2 x y^prime+2 y=0 ; y(0)=1, y^prime(0)=0
Estas funções são casos particulares das denominadas funções de Legendre.

Passo 1

O enunciado pede uma expansão em série de potências para a solução de
(1 - x^2),y'' - 2x,y' + 2y = 0,
com condições iniciais y(0)=1 e y'(0)=0.
Este é o caso da equação de Legendre com n(n+1)=2, mas vamos obter a série diretamente pelo método de Frobenius (série de potências).

Passo 2

Suponhamos
y(x) = sumk=0^infty ak,x^k
Então
y'(x) = sumk=1^infty k,ak,x^k-1, y''(x) = sumk=2^infty k(k-1),ak,x^k-2
Substituindo em (1-x^2)y''-2x,y'+2y=0 e separando as potências de x, obtemos duas somas:
sumk=2^inftyk(k-1)ak,x^k-2 ;-; sumk=2^inftyk(k-1)ak,x^k ;-; 2sumk=1^inftyk,ak,x^k ;+; 2sumk=0^inftyak,x^k = 0

Passo 3

Reescrevendo o primeiro somatório com índice m=k-2 e coletando o termo em x^m e em x^k, chega-se ao seguinte valor geral para os coeficientes:
(m+2)(m+1),am+2;-;(m-1)(m+2),am ;=;0,
ou seja, para m>=0,
am+2 ;=;m-1m+1;am

Passo 4

Das condições iniciais temos
y(0)=a0=1, y'(0)=a1=0
Logo todos os termos ímpares são nulos: a2n+1=0.
Para os termos pares, usemos a relação de recorrência:
a2 = 0-10+1,a0 = -1, a4 = 2-12+1,a2 = tfrac13cdot(-1)=-tfrac13, a6 = 4-14+1,a4 = tfrac35cdotl(-tfrac13r)=-tfrac15,
e assim por diante.

Passo 5

Observando o padrão, para n>=1
a2n = -12n-1,
e a2n+1=0.
Portanto a série solução fica
y(x) = sumn=0^infty a2n,x^2n = a0 + sumn=1^inftyl(-tfrac12n-1r),x^2n = 1 ;-;x^2 ;-;tfrac13x^4 ;-;tfrac15x^6 ;-;cdots

Resposta

boxedy(x)=1 ;-;x^2 ;-;tfrac13,x^4 ;-;tfrac15,x^6 ;-;cdots ;=; 1 ;-;sumn=1^inftyx^2n2n-1

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