Determine uma expansão em série de potências para os seguintes problemas de valor inicial
Estas funções são casos particulares das denominadas funções de Legendre.
Passo 1
O enunciado pede uma expansão em série de potências para a solução de
com condições iniciais
e
.
Este é o caso da equação de Legendre com , mas vamos obter a série diretamente pelo método de Frobenius (série de potências).
Este é o caso da equação de Legendre com
Passo 2
Suponhamos
Então
Substituindo em
e separando as potências de
, obtemos duas somas:
Passo 3
Reescrevendo o primeiro somatório com índice
e coletando o termo em
e em
, chega-se ao seguinte valor geral para os coeficientes:
ou seja, para
,
Passo 4
Das condições iniciais temos
Logo todos os termos ímpares são nulos:
.
Para os termos pares, usemos a relação de recorrência:
Para os termos pares, usemos a relação de recorrência:
e assim por diante.
Passo 5
Observando o padrão, para
e
.
Portanto a série solução fica
Portanto a série solução fica