Calcule fx x, fx y=fy x e fy y para as seguintes funções.
(x+y)^n.

Passo 1

O enunciado pede as derivadas parciais de segunda ordem de f(x,y)=(x+y)^n. O conteúdo aqui é derivação de função composta pelo uso da regra da potência e da regra da cadeia.

Passo 2

Começamos encontrando as derivadas parciais de primeira ordem. Aplicando a regra da cadeia em relação a x:
fx = partialpartial x(x+y)^n = n,(x+y)^n-1cdotpartialpartial x(x+y) = n,(x+y)^n-1
De maneira análoga, em relação a y:
fy = partialpartial y(x+y)^n = n,(x+y)^n-1cdotpartialpartial y(x+y) = n,(x+y)^n-1

Passo 3

Agora derivamos fx para obter fxx e fxy. Usando de novo a regra da potência e da cadeia:
fxx = partialpartial xl[n,(x+y)^n-1r] = n,(n-1),(x+y)^n-2cdotpartialpartial x(x+y) = n(n-1)(x+y)^n-2,
fxy = partialpartial yl[n,(x+y)^n-1r] = n,(n-1),(x+y)^n-2cdotpartialpartial y(x+y) = n(n-1)(x+y)^n-2

Passo 4

Finalmente, derivamos fy para achar fyy e verificamos a igualdade mista fyx=fxy. De novo:
fyy = partialpartial yl[n,(x+y)^n-1r] = n(n-1)(x+y)^n-2,
e pelo teorema de Schwarz temos
fyx = fxy = n(n-1)(x+y)^n-2

Resposta

fxx=n(n-1)(x+y)^n-2, fxy=fyx=n(n-1)(x+y)^n-2, fyy=n(n-1)(x+y)^n-2

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