Calcule fx x y y se f(x, y)=e^-x^2-y^2

Passo 1

O enunciado pede a derivada parcial mista de quarta ordem
fxxyy=partial^4 fpartial x^2partial y^2
para a função
f(x,y)=e^-x^2-y^2
Vamos usar regras de derivação sucessiva (regra da cadeia e do produto) e a comutatividade de derivadas parciais em funções C^2.

Passo 2

Primeiro achamos
fx=partialpartial xe^-x^2-y^2 =-2x,e^-x^2-y^2
Em seguida, derivamos de novo em x:
fxx =partialpartial x(-2x,e^-x^2-y^2) =-2,e^-x^2-y^2+(-2x)l(-2x,e^-x^2-y^2r) =l(-2+4x^2r)e^-x^2-y^2

Passo 3

Agora derivamos fxx em y:
fxxy =partialpartial yl[l(-2+4x^2r)e^-x^2-y^2r] =l(-2+4x^2r)l(-2y,e^-x^2-y^2r) =(4y-8x^2y),e^-x^2-y^2

Passo 4

Finalmente derivamos fxxy mais uma vez em y:
fxxyy =partialpartial yl[(4y-8x^2y)e^-x^2-y^2r] =(4-8x^2),e^-x^2-y^2+(4y-8x^2y)l(-2y,e^-x^2-y^2r)
Agrupando termos:
fxxyy =l[4-8x^2-8y^2+16x^2y^2r]e^-x^2-y^2 = l[4-8(x^2+y^2)+16x^2y^2r]e^-x^2-y^2

Resposta

fxxyy(x,y)=l[4-8(x^2+y^2)+16x^2y^2r],e^-x^2-y^2

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