Encontre os quatro primeiros termos não nulos da série de potência em torno de chi=0 da solução geral da equação diferencial.
-(2 x-3) y^prime prime-x y^prime+y=0

Passo 1

O enunciado pede a solução geral em série de potência em torno de x=0 da equação
-(2x-3)y''-x,y'+y=0
O método é assumir
y=sumn=0^infty an x^n,
calcular y', y'', substituir na equação e igualar coeficientes de potências de x.

Passo 2

Assumimos
y=sumn=0^infty an x^n, y'=sumn=1^infty n,an x^n-1, y''=sumn=2^infty n(n-1),an x^n-2

Passo 3

Substituindo em (2x-3)y''+x,y'-y=0 e agrupando em potências de x^m obtemos para m=0 e para m>=1:
m=0: -6a2 - a0 = 0
m>=1: 2m(m+1)am+1-3(m+2)(m+1)am+2+(m-1)am=0
Da primeira condição segue
a2=-a06,
e da relação geral isolamos
am+2=2m(m+1)am+1+(m-1)am3(m+2)(m+1),

Passo 4

Escolhendo as constantes iniciais de modo a obter as duas soluções independentes:
(i) para a solução y1 tomamos a0=1, a1=0. Então
a2=-16, a3=-127, a4=-11648,dots
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y1=1-x^26-x^327-11x^4648+cdots
(ii) para a outra solução tomamos a0=0, a1=1. A partir da recorrência an=0 para n>=2, isto é
y2 = x

Passo 5

Assim a solução geral é
y=C1,y1 + C2,y2 =C1l(1-tfracx^26-tfracx^327-cdotsr)+C2,x
Os quatro primeiros termos não nulos dessa série (ordem crescente em x) são:
C1, C2,x, -C16,x^2, -C127,x^3

Resposta

Os quatro primeiros termos não nulos de y são
y = C1 + C2,x - C16,x^2 - C127,x^3 + cdots

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