Calcule o vetor gradiente da função
f(x, y)=e^x+y-1x y
no ponto (1,-1)

Passo 1

O enunciado pede o vetor gradiente de
f(x,y)=e^x+y-1x,y
no ponto (1,-1). O conteúdo aqui é cálculo de derivadas parciais e uso da regra do quociente para funções de duas variáveis. Vamos primeiro obter as expressões gerais de partial f/partial x e partial f/partial y e depois avaliar em (1,-1).

Passo 2

Defina g(x,y)=e^x+y-1 e h(x,y)=x,y, de modo que f=g/h. Pela regra do quociente,
partial fpartial x =gx,h - g,hxh^2
Aqui gx=e^x+y e hx=y, logo
partial fpartial x =e^x+y,(x,y)-(e^x+y-1),y(x,y)^2 =e^x+y(x-1)+1x^2,y
De forma análoga, usando gy=e^x+y e hy=x,
partial fpartial y =e^x+y,(x,y)-(e^x+y-1),x(x,y)^2 =e^x+y(y-1)+1x,y^2

Passo 3

No ponto (1,-1) temos e^x+y=e^0=1. Substituindo nas fórmulas:
partial fpartial x(1,-1) =1cdot(1-1)+11^2cdot(-1)=-1,
partial fpartial y(1,-1) =1cdot(-1-1)+11cdot(-1)^2=-1

Resposta

nabla f(1,-1)=(-1,-1)

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