Calcule fx y z se f(x, y, z)=sen(3 x+y z).

Passo 1

A questão pede pra calcular a derivada mista de terceira ordem fxyz da função f(x,y,z)=sin(3x+yz). Vamos usar conceitos de derivadas parciais e a regra da cadeia.

Passo 2

Primeiro derivamos f em relação a x. Como f(x,y,z)=sin(u) com u=3x+yz, aplicamos regra da cadeia: a derivada de sin(u) é cos(u) vezes u'. Logo: fx=3cos(3x+yz)

Passo 3

Agora derivamos fx em relação a y. Temos fx=3cos(3x+yz), e de novo uso da cadeia: derivada de cos(u) é -sin(u) vezes u' que, ao derivar u=3x+yz em relação a y, dá z. Assim: fxy=-3zsin(3x+yz)

Passo 4

Por fim calculamos fxyz, derivando fxy=-3zsin(3x+yz) em relação a z. É preciso usar produto e cadeia:
– derivada de z dá 1 vezes (-3\sin(3x+yz)) = -3\sin(3x+yz),
– mais z vezes derivada de (-3\sin(3x+yz)) que é (-3)\cos(3x+yz)\cdot y. Somando: fxyz=-3sin(3x+yz)-3yzcos(3x+yz)

Resposta

fxyz(x,y,z)=-3sin(3x+yz)-3yzcos(3x+yz)

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