Identifique se as funções abaixo são contínuas no ponto
. Justifique suas respostas
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos que verificar se a função $ f(z) = \operatorname{Arg}(z) $ é contínua no ponto $ z_o = -1
\operatorname{Arg} $) funciona.
Passo 2
Continuidade: Uma função é contínua em um ponto se o limite da função, quando nos aproximamos desse ponto, é igual ao valor da função naquele ponto. Em outras palavras, não deve haver “saltos” ou “interrupções” na função nesse ponto.
Função Argumento ($ \operatorname{Arg}(z) $): Para um número complexo $ z = x + iy $, o argumento é o ângulo que o vetor representa no plano complexo faz com o eixo real positivo. Esse ângulo pode variar de
a
ou de
a
, dependendo da convenção usada.
Passo 3
Vamos analisar o ponto $ z_o = -1 $. No plano complexo, isso corresponde ao ponto
, que está no eixo real negativo. O argumento de
geralmente é $ \pi $ (ou
).
Passo 4
Para verificar a continuidade, precisamos observar o comportamento de $ \operatorname{Arg}(z) $ quando $ z $ se aproxima de
por diferentes direções. Se obtemos o mesmo valor de argumento independente da direção de aproximação, a função é contínua nesse ponto.
Passo 5
No entanto, se nos aproximarmos de
pelo semicírculo superior (onde o ângulo tende a $ \pi $) ou pelo semicírculo inferior (onde o ângulo tende a
), observamos que os limites são diferentes:
- Aproximando pelo semicírculo superior: $ \operatorname{Arg}(z) \to \pi $
- Aproximando pelo semicírculo inferior: $ \operatorname{Arg}(z) \to -\pi $
Passo 6
Como os limites pelas diferentes direções não coincidem ($ \pi \neq -\pi $), o limite da função $ \operatorname{Arg}(z) $ quando $ z $ se aproxima de
não existe de forma única.
Resposta
A função $ f(z) = \operatorname{Arg}(z) $ não é contínua no ponto $ z_o = -1 $, pois os limites pelas direções superior e inferior não coincidem.