Identifique se as funções abaixo são contínuas no ponto zo. Justifique suas respostas
zo=-1 ; f(z)=Arg(z)

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos que verificar se a função $ f(z) = \operatorname{Arg}(z) $ é contínua no ponto $ z_o = -1 f(z) = Arg(z) éçã \operatorname{Arg} $) funciona.

Passo 2

Continuidade: Uma função é contínua em um ponto se o limite da função, quando nos aproximamos desse ponto, é igual ao valor da função naquele ponto. Em outras palavras, não deve haver “saltos” ou “interrupções” na função nesse ponto.
Função Argumento ($ \operatorname{Arg}(z) $): Para um número complexo $ z = x + iy $, o argumento é o ângulo que o vetor representa no plano complexo faz com o eixo real positivo. Esse ângulo pode variar de Arg(z) a z = x + iy ou de -pi a pi, dependendo da convenção usada.

Passo 3

Vamos analisar o ponto $ z_o = -1 $. No plano complexo, isso corresponde ao ponto zo = -1 , que está no eixo real negativo. O argumento de (-1, 0) geralmente é $ \pi $ (ou -1).

Passo 4

Para verificar a continuidade, precisamos observar o comportamento de $ \operatorname{Arg}(z) $ quando $ z $ se aproxima de Arg(z) por diferentes direções. Se obtemos o mesmo valor de argumento independente da direção de aproximação, a função é contínua nesse ponto.

Passo 5

No entanto, se nos aproximarmos de -1 pelo semicírculo superior (onde o ângulo tende a $ \pi $) ou pelo semicírculo inferior (onde o ângulo tende a pi ), observamos que os limites são diferentes:
  • Aproximando pelo semicírculo superior: $ \operatorname{Arg}(z) \to \pi $
  • Aproximando pelo semicírculo inferior: $ \operatorname{Arg}(z) \to -\pi $

Passo 6

Como os limites pelas diferentes direções não coincidem ($ \pi \neq -\pi $), o limite da função $ \operatorname{Arg}(z) $ quando $ z $ se aproxima de pi neq -pi não existe de forma única.

Resposta

A função $ f(z) = \operatorname{Arg}(z) $ não é contínua no ponto $ z_o = -1 $, pois os limites pelas direções superior e inferior não coincidem.

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