Encontre a direção onde a derivada direcional de f(x, y)=raizx^2+y^3 no ponto (1,2) é maior e calcule tal derivada.

Passo 1

O enunciado pede para achar, no ponto (1,2), a direção em que a derivada direcional de f(x,y)=√(x²+y³) é máxima e calcular esse valor. Vamos usar o conceito de gradiente e derivada direcional.

Passo 2

A derivada direcional de f em direção ao vetor unitário u é dada por D_uf=∇f·u. O valor máximo de D_uf ocorre quando u aponta na direção de ∇f, e o máximo é ||∇f||.

Passo 3

Calcular ∇f usando regra da cadeia. Definindo g(x,y)=x²+y³ e f=√g, temos
∂f/∂x=12√gcdot2x=x√x²+y³, ²³
∂f/∂y=12√gcdot3y²=3y²2√x²+y³ ²²²³

Passo 4

Avaliar em (1,2): como x²+y³=1+8=9 e √9=3, fica
∂f/∂x(1,2)=13,
∂f/∂y(1,2)=3⋅42⋅3=2
Logo ∇f(1,2)=(1/3,2).

Passo 5

A direção de maior crescimento é o vetor unitário na direção de ∇f. Primeiro achamos ||∇f||:
||∇f||=√(1/3)²+2²=√1/9+4=√37/9=√373 ²²
Então o vetor unitário é

Passo 6

O valor máximo da derivada direcional é justamente ||∇f|| avaliado em (1,2), ou seja √{37}/3.

Resposta

A direção de máximo crescimento é o vetor unitário (1/√37, 6/√37) e o valor da derivada direcional máxima é √37/3.

Exercícios relacionados