Encontre a direção onde a derivada direcional de
no ponto
é maior e calcule tal derivada.
Passo 1
O enunciado pede para achar, no ponto (1,2), a direção em que a derivada direcional de f(x,y)=√(x²+y³) é máxima e calcular esse valor. Vamos usar o conceito de gradiente e derivada direcional.
Passo 2
A derivada direcional de f em direção ao vetor unitário u é dada por D_uf=∇f·u. O valor máximo de D_uf ocorre quando u aponta na direção de ∇f, e o máximo é ||∇f||.
Passo 3
Calcular ∇f usando regra da cadeia. Definindo g(x,y)=x²+y³ e f=√g, temos
Passo 4
Avaliar em (1,2): como x²+y³=1+8=9 e √9=3, fica
Logo ∇f(1,2)=(1/3,2).
Passo 5
A direção de maior crescimento é o vetor unitário na direção de ∇f. Primeiro achamos ||∇f||:
Então o vetor unitário é
Passo 6
O valor máximo da derivada direcional é justamente ||∇f|| avaliado em (1,2), ou seja √{37}/3.
Resposta
A direção de máximo crescimento é o vetor unitário (1/√37, 6/√37) e o valor da derivada direcional máxima é √37/3.