Suponha que z=f(x, y) é dada implicitamente por
zx+z+y ln (z+x)=0
Calcule partial z(0,1)partial x.

Passo 1

A gente tem uma função implícita dada por zx+z+yln(z+x)=0. O tema aqui é derivação implícita (ou Teorema da Função Implícita) para achar partial z/partial x no ponto (0,1). Vamos precisar: 1) achar o valor de z em (0,1), 2) definir F(x,y,z)=0, 3) calcular as derivadas parciais Fx e Fz, 4) usar partial z/partial x=-Fx/Fz.

Passo 2

Primeiro, encontramos z(0,1) resolvendo a equação com x=0 e y=1:
z0+z+1cdotln(z+0)=0
Isso vira
$$
1+\ln z=0
1+ln z=0 \ln z=-1\quad\Rightarrow\quad z=\mathrm e^{-1}=\frac1e.$$

Passo 3

Agora definimos a função auxiliar
F(x,y,z)=zx+z+yln(z+x)

Passo 4

Calculamos a derivada parcial de F em relação a x:
Fx=-z(x+z)^2+yz+x,
e a em relação a z:
Fz=(x+z)-z(x+z)^2+yz+x=x(x+z)^2+yz+x

Passo 5

Pelo Teorema da Função Implícita, quando Fzneq0,
partial zpartial x=-FxFz

Passo 6

Finalmente, avaliamos em x=0, y=1 e z=1/e:
  • Em Fx:
Fx(0,1,1/e)=-1/e(1/e)^2+11/e=-1/e1/e^2+e=-e+e=0
  • Em Fz:
Fz(0,1,1/e)=0(1/e)^2+11/e=eneq0

Passo 7

Portanto
partial zpartial x(0,1)=-0e=0

Resposta

0

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