Calcule:
(g!) \int_{0}^{2 \pi} \sqrt{1+\cos x} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int_{0}^{2\pi} \sqrt{1+\cos x}\, dx.
Informações dadas e observações imediatas:
\text{(i) } \cos x\in[-1,1]\Rightarrow 1+\cos x\ge 0,
logo a função \sqrt{1+\cos x} está bem definida e não tem problema de raiz de número negativo no intervalo [0,2\pi].
\text{(ii) } \text{O domínio de integração é }[0,2\pi].íçãé

Passo 2

Vamos usar uma identidade trigonométrica clássica para transformar a expressão dentro da raiz. A identidade do cosseno do ângulo duplo é
\cos x = 2\cos^2\!\left(\frac{x}{2}\right)-1.
Somando 1 aos dois lados obtemos
1+\cos x = 2\cos^2\!\left(\frac{x}{2}\right).
Essa fórmula é útil porque transforma uma soma envolvendo \cos x em algo ao quadrado, facilitando a raiz.

Passo 3

Aplicando a raiz quadrada em ambos os lados, lembrando que a raiz principal é não negativa, temos
\sqrt{1+\cos x} = \sqrt{2}\,\left|\cos\!\left(\frac{x}{2}\right)\right|.
Explicando: \sqrt{\cos^2(\cdot)} = |\cos(\cdot)|, ou seja, aparece o valor absoluto porque \cos(x/2) pode ser negativo para alguns x. No nosso intervalo x\in[0,2\pi] temos x/2\in[0,\pi], e \cos(u) muda de sinal em u=\pi/2 (ou seja, em x=\pi).

Passo 4

Substituímos na integral:
\int_{0}^{2\pi} \sqrt{1+\cos x}\, dx = \int_{0}^{2\pi} \sqrt{2}\,\left|\cos\!\left(\frac{x}{2}\right)\right| dx.
Fatorando \sqrt{2} e fazendo a mudança de variável \displaystyle u=\frac{x}{2}, de modo que dx=2\,du, e as novas limites são u(0)=0 e u(2\pi)=\pi, obtemos
\int_{0}^{2\pi} \sqrt{1+\cos x}\, dx = \sqrt{2}\cdot 2 \int_{0}^{\pi} |\cos u|\, du = 2\sqrt{2}\int_{0}^{\pi} |\cos u|\, du.

Passo 5

Agora vamos calcular \displaystyle \int_{0}^{\pi} |\cos u|\, du. Observando o sinal de \cos u em [0,\pi]:
\cos u \ge 0 \text{ em } [0,\tfrac{\pi}{2}],\qquad \cos u \le 0 \text{ em } [\tfrac{\pi}{2},\pi].
Portanto
\int_{0}^{\pi} |\cos u|\, du = \int_{0}^{\tfrac{\pi}{2}} \cos u\, du + \int_{\tfrac{\pi}{2}}^{\pi} (-\cos u)\, du.
Como a função é simétrica nesses subintervalos, uma forma mais rápida é usar simetria:
\int_{0}^{\pi} |\cos u|\, du = 2\int_{0}^{\tfrac{\pi}{2}} \cos u\, du.

Passo 6

Calculemos a integral de \cos u:
\int_{0}^{\tfrac{\pi}{2}} \cos u\, du = \big[\sin u\big]_{0}^{\tfrac{\pi}{2}} = \sin\!\left(\tfrac{\pi}{2}\right)-\sin 0 = 1-0=1.
Logo
\int_{0}^{\pi} |\cos u|\, du = 2\cdot 1 = 2.

Passo 7

Voltando ao resultado da Passo 4,
\int_{0}^{2\pi} \sqrt{1+\cos x}\, dx = 2\sqrt{2}\cdot 2 = 4\sqrt{2}.
Respira fundo — fizemos todas as etapas: identidade trigonométrica, cuidado com valor absoluto, mudança de variável e avaliação direta da integral.

Resposta

4\sqrt{2}

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