Explicando: \sqrt{\cos^2(\cdot)} = |\cos(\cdot)|, ou seja, aparece o valor absoluto porque \cos(x/2) pode ser negativo para alguns x. No nosso intervalo x\in[0,2\pi] temos x/2\in[0,\pi], e \cos(u) muda de sinal em u=\pi/2 (ou seja, em x=\pi).
Fatorando \sqrt{2} e fazendo a mudança de variável \displaystyle u=\frac{x}{2}, de modo que dx=2\,du, e as novas limites são u(0)=0 e u(2\pi)=\pi, obtemos
\int_{0}^{2\pi} \sqrt{1+\cos x}\, dx = \sqrt{2}\cdot 2 \int_{0}^{\pi} |\cos u|\, du = 2\sqrt{2}\int_{0}^{\pi} |\cos u|\, du.
Passo 5
Agora vamos calcular \displaystyle \int_{0}^{\pi} |\cos u|\, du. Observando o sinal de \cos u em [0,\pi]:
\cos u \ge 0 \text{ em } [0,\tfrac{\pi}{2}],\qquad \cos u \le 0 \text{ em } [\tfrac{\pi}{2},\pi].
Portanto
\int_{0}^{\pi} |\cos u|\, du = \int_{0}^{\tfrac{\pi}{2}} \cos u\, du + \int_{\tfrac{\pi}{2}}^{\pi} (-\cos u)\, du.
Como a função é simétrica nesses subintervalos, uma forma mais rápida é usar simetria:
\int_{0}^{\pi} |\cos u|\, du = 2\int_{0}^{\tfrac{\pi}{2}} \cos u\, du.