Calcule:
(a) \int x^{3} \cos \left(x^{4}\right) d x
(b) \int_{0}^{x} \operatorname{sen}^{5} t \cos t d t
(c) \int \operatorname{tg} x \operatorname{sec} ^{2} x d x
(d) \int \frac{\operatorname{sec} ^{2} x}{3+2 \operatorname{tg} x} d x
(e) \int_{1 / 2}^{x}\left(\frac{5}{t-1}+\frac{2}{t}\right) d t
(f) \int \frac{1}{a^{2}+x^{2}} d x
(g) \int \frac{1}{x \ln x} d x
(h) \int \frac{1}{x} \cos (\ln x) d x
(i) \int x \operatorname{sec} ^{2} x d x
(j) \int \operatorname{arcsen}(x) d x
Passo 1
O enunciado pede para calcular as seguintes integrais (vou escrever exatamente cada item para ficar claro o que precisamos achar):
Informações relevantes dadas: os integrandos e, quando houver, os limites de integração. Não há outras condições específicas (por exemplo, sobre a em (f), vou assumir a>0 quando necessário para fórmulas padrão).
Passo 2
Antes de começar a calcular cada integral, vou explicar duas ferramentas que vamos usar muitas vezes, de forma bem didática e prática.
Substituição (regra da cadeia inversa)
Ideia: se a integranda tem uma parte g(x) e sua derivada g'(x) multiplicando uma função de g(x), então é bom trocar u=g(x). Formalmente, se u=g(x) então du=g'(x)\,dx. Assim
\int f\big(g(x)\big)\,g'(x)\,dx = \int f(u)\,du.
Por que funciona (rápido): derivada de uma primitiva composta segue a regra da cadeia; a substituição é só inverter esse processo.
Observação: \operatorname{sec}^{2}x é a derivada de \tan x: \dfrac{d}{dx}\tan x=\operatorname{sec}^{2}x. Então faça u=\tan x, du=\operatorname{sec}^{2}x\,dx.
Como escolher U e dV? Regra prática: escolha U como a parte que fica mais simples ao derivar (por exemplo um polinômio x ou \ln x ou \arcsin x), e escolha dV como a parte fácil de integrar (por exemplo \operatorname{sec}^{2}x\,dx integra para \tan x).
Exemplo mental: para \int x\operatorname{sec}^{2}x\,dx escolha U=x (deriva para 1) e dV=\operatorname{sec}^{2}x\,dx (integra para \tan x).
Use integração por partes. Tome U=x e dV=\operatorname{sec}^{2}x\,dx.
Então dU=dx e V=\tan x (porque \dfrac{d}{dx}\tan x=\operatorname{sec}^{2}x).
Aplicando a fórmula:
\int x\operatorname{sec}^{2}x\,dx = x\cdot \tan x - \int \tan x \cdot 1\,dx = x\tan x - \int \tan x\,dx.
Agora \int \tan x\,dx é padrão: \tan x = \dfrac{\sin x}{\cos x}. Uma primitiva conhecida é -\ln|\cos x|, pois \dfrac{d}{dx}\big(-\ln|\cos x|\big) = \dfrac{\sin x}{\cos x} = \tan x.
Então
\int x\operatorname{sec}^{2}x\,dx = x\tan x - \big(-\ln|\cos x|\big) + C = x\tan x + \ln|\cos x| + C.
Observação: também se costuma escrever \ln|\operatorname{sec} x| com sinal apropriado; esta forma é equivalente até constante.
Passo 13
(j) Calcular \displaystyle \int \arcsin(x)\,dx.
Aqui também uso integração por partes. Escolho U=\arcsin x (porque ao derivar fica mais simples) e dV=dx (fácil de integrar).
Então dU=\dfrac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}\,dx (derivada de \arcsin x) e V=x.
Aplicando integração por partes:
\int \arcsin x\,dx = x\arcsin x - \int x\cdot \frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}\,dx.
Precisamos calcular I=\int \dfrac{x}{\sqrt{1-x^{2}}}\,dx. Use substituição w=1-x^{2}. Então dw=-2x\,dx, ou x\,dx = -\dfrac{1}{2}\,dw.
Substituindo:
I = \int \frac{x}{\sqrt{1-x^{2}}}\,dx = \int \frac{-\tfrac{1}{2}\,dw}{\sqrt{w}} = -\frac{1}{2}\int w^{-1/2}\,dw.
Integral de w^{-1/2} é 2w^{1/2}. Então
I = -\frac{1}{2}\cdot 2 w^{1/2} + C = -\sqrt{w} + C = -\sqrt{1-x^{2}} + C.
Voltando para a integração por partes:
\int \arcsin x\,dx = x\arcsin x - \big(-\sqrt{1-x^{2}}\big) + C = x\arcsin x + \sqrt{1-x^{2}} + C.
Resposta
(a) \displaystyle \frac{1}{4}\sin\!\big(x^{4}\big)+C
(b) \displaystyle \frac{1}{6}\sin^{6}x
(c) \displaystyle \frac{1}{2}\tan^{2}x + C
(d) \displaystyle \frac{1}{2}\ln\big|3+2\tan x\big| + C
(e) \displaystyle 5\ln|x-1| + 2\ln|x| + 7\ln 2
(f) \displaystyle \frac{1}{a}\arctan\!\left(\frac{x}{a}\right) + C
(g) \displaystyle \ln\big|\ln x\big| + C
(h) \displaystyle \sin(\ln x) + C
(i) \displaystyle x\tan x + \ln|\cos x| + C
(j) \displaystyle x\arcsin x + \sqrt{1-x^{2}} + C