Calcule:
(a) \int x^{3} \cos \left(x^{4}\right) d x
(b) \int_{0}^{x} \operatorname{sen}^{5} t \cos t d t
(c) \int \operatorname{tg} x \operatorname{sec} ^{2} x d x
(d) \int \frac{\operatorname{sec} ^{2} x}{3+2 \operatorname{tg} x} d x
(e) \int_{1 / 2}^{x}\left(\frac{5}{t-1}+\frac{2}{t}\right) d t
(f) \int \frac{1}{a^{2}+x^{2}} d x
(g) \int \frac{1}{x \ln x} d x
(h) \int \frac{1}{x} \cos (\ln x) d x
(i) \int x \operatorname{sec} ^{2} x d x
(j) \int \operatorname{arcsen}(x) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular as seguintes integrais (vou escrever exatamente cada item para ficar claro o que precisamos achar):
(a) \displaystyle \int x^{3} \cos\!\big(x^{4}\big)\,dx
(b) \displaystyle \int_{0}^{x} \sin^{5}t\cos t\,dt
(c) \displaystyle \int \tan x\operatorname{sec}^{2}x\,dx
(d) \displaystyle \int \frac{\operatorname{sec}^{2}x}{3+2\tan x}\,dx
(e) \displaystyle \int_{1/2}^{x}\!\left(\frac{5}{t-1}+\frac{2}{t}\right)\,dt
(f) \displaystyle \int \frac{1}{a^{2}+x^{2}}\,dx
(g) \displaystyle \int \frac{1}{x\ln x}\,dx
(h) \displaystyle \int \frac{1}{x}\cos(\ln x)\,dx
(i) \displaystyle \int x\operatorname{sec}^{2}x\,dx
(j) \displaystyle \int \arcsin(x)\,dx
Informações relevantes dadas: os integrandos e, quando houver, os limites de integração. Não há outras condições específicas (por exemplo, sobre a em (f), vou assumir a>0 quando necessário para fórmulas padrão).

Passo 2

Antes de começar a calcular cada integral, vou explicar duas ferramentas que vamos usar muitas vezes, de forma bem didática e prática.
Substituição (regra da cadeia inversa)
  • Ideia: se a integranda tem uma parte g(x) e sua derivada g'(x) multiplicando uma função de g(x), então é bom trocar u=g(x). Formalmente, se u=g(x) então du=g'(x)\,dx. Assim
\int f\big(g(x)\big)\,g'(x)\,dx = \int f(u)\,du.
  • Por que funciona (rápido): derivada de uma primitiva composta segue a regra da cadeia; a substituição é só inverter esse processo.
  • Exemplo rápido (modelo): \int 2x\cos(x^{2})\,dx. Tomamos u=x^{2}, du=2x\,dx, daí vira \int \cos u\,du=\sin u + C=\sin(x^{2})+C.
Integração por partes
  • Fórmula: se escolhermos duas funções U(x) e V'(x), então
\int U(x)\,V'(x)\,dx = U(x)V(x) - \int V(x)\,U'(x)\,dx.
  • Derivação curta: vem da regra do produto para derivadas e isolar \int U V'.
  • Dica prática: escolha U que simplifique ao derivar; escolha V' que você sabe integrar.
Agora aplico essas ideias, uma a uma, em cada item com explicações passo a passo.

Passo 3

(a) Calcular \displaystyle \int x^{3}\cos\!\big(x^{4}\big)\,dx.
  • Observação: vejo \cos(x^{4}) e um fator x^{3} que é proporcional à derivada de x^{4}. Então uso substituição.
  • Faça u = x^{4}. Então du = 4x^{3}\,dx, ou seja x^{3}\,dx = \dfrac{1}{4}\,du.
  • Substituindo:
\int x^{3}\cos(x^{4})\,dx = \int \cos(u)\cdot \frac{1}{4}\,du = \frac{1}{4}\int \cos u\,du.
  • Integro \cos u: \int \cos u\,du = \sin u + C.
  • Volto para x:
\int x^{3}\cos(x^{4})\,dx = \frac{1}{4}\sin(u)+C = \frac{1}{4}\sin\!\big(x^{4}\big)+C.

Passo 4

(b) Calcular \displaystyle \int_{0}^{x}\sin^{5}t\cos t\,dt.
  • Esse é um integral definida com limite superior variável x, ou seja vamos obter uma função de x.
  • Observação: \sin^{5}t e fator \cos t\,dt sugerem a substituição u=\sin t, porque du=\cos t\,dt.
  • Faço a substituição: u=\sin t. Quando t=0, u=\sin 0=0. Quando t=x, u=\sin x.
  • Então
\int_{0}^{x}\sin^{5}t\cos t\,dt = \int_{u=0}^{u=\sin x} u^{5}\,du.
  • Integral de u^{5}: \int u^{5}\,du = \dfrac{u^{6}}{6}.
  • Avaliando de 0 a \sin x:
\int_{0}^{x}\sin^{5}t\cos t\,dt = \left.\frac{u^{6}}{6}\right|_{0}^{\sin x} = \frac{\sin^{6}x}{6} - 0 = \frac{1}{6}\sin^{6}x.
  • Observação final: o resultado é uma função de x, \dfrac{1}{6}\sin^{6}x.

Passo 5

(c) Calcular \displaystyle \int \tan x\operatorname{sec}^{2}x\,dx.
  • Observação: \operatorname{sec}^{2}x é a derivada de \tan x: \dfrac{d}{dx}\tan x=\operatorname{sec}^{2}x. Então faça u=\tan x, du=\operatorname{sec}^{2}x\,dx.
  • Substituição:
\int \tan x\operatorname{sec}^{2}x\,dx = \int u\,du = \frac{u^{2}}{2}+C = \frac{1}{2}\tan^{2}x + C.

Passo 6

(d) Calcular \displaystyle \int \frac{\operatorname{sec}^{2}x}{3+2\tan x}\,dx.
  • Observação: denominador é linear em \tan x, e numerador contém \operatorname{sec}^{2}x = (\tan x)'. Logo substituição natural u=3+2\tan x.
  • Calcule du: du = 2\operatorname{sec}^{2}x\,dx. Então \operatorname{sec}^{2}x\,dx = \dfrac{1}{2}\,du.
  • Substituindo:
\int \frac{\operatorname{sec}^{2}x}{3+2\tan x}\,dx = \int \frac{1}{u}\cdot\frac{1}{2}\,du = \frac{1}{2}\int \frac{1}{u}\,du.
  • Integral de 1/u é \ln|u|. Assim:
\int \frac{\operatorname{sec}^{2}x}{3+2\tan x}\,dx = \frac{1}{2}\ln|u| + C = \frac{1}{2}\ln\big|3+2\tan x\big| + C.

Passo 7

(e) Calcular \displaystyle \int_{1/2}^{x}\!\left(\frac{5}{t-1}+\frac{2}{t}\right)\,dt.
  • Primeiro: antiderivada de \dfrac{1}{t-1} é \ln|t-1| (porque derivada de \ln|t-1| 1/(t-1)). Antiderivada de \dfrac{1}{t} é \ln|t|.
  • Assim uma primitiva da soma é
F(t)=5\ln|t-1| + 2\ln|t|.
  • Avaliamos F de t=\tfrac{1}{2} até t=x:
\int_{1/2}^{x}\left(\frac{5}{t-1}+\frac{2}{t}\right)\,dt = \big[5\ln|t-1| + 2\ln|t|\big]_{1/2}^{x}.
  • Calcule o termo em t=\tfrac{1}{2}. Note que \tfrac{1}{2}-1=-\tfrac{1}{2} e |-\tfrac{1}{2}|=\tfrac{1}{2}. Logo
5\ln\big|{\tfrac{1}{2}-1}\big| + 2\ln\big|{\tfrac{1}{2}}\big| = 5\ln\left(\tfrac{1}{2}\right) + 2\ln\left(\tfrac{1}{2}\right) = 7\ln\left(\tfrac{1}{2}\right).
  • Como \ln\!\left(\tfrac{1}{2}\right)=-\ln 2, isso vale -7\ln 2.
  • Portanto o valor do integral é
5\ln|x-1| + 2\ln|x| - \big(-7\ln 2\big) = 5\ln|x-1| + 2\ln|x| + 7\ln 2.
  • Observação: podemos deixar assim ou combinar logaritmos, mas essa forma é clara.

Passo 8

(f) Calcular \displaystyle \int \frac{1}{a^{2}+x^{2}}\,dx.
  • Esta é uma integral padrão. Para a>0 sabemos que
\frac{d}{dx}\arctan\!\left(\frac{x}{a}\right) = \frac{1}{1+(x/a)^{2}}\cdot\frac{1}{a} = \frac{a}{a^{2}+x^{2}}\cdot\frac{1}{a} = \frac{1}{a^{2}+x^{2}}.
  • Mais direto: use substituição u=\dfrac{x}{a}, então x=a u, dx=a\,du e a^{2}+x^{2}=a^{2}(1+u^{2}). Assim
\int \frac{1}{a^{2}+x^{2}}\,dx = \int \frac{1}{a^{2}(1+u^{2})} a\,du = \frac{1}{a}\int\frac{1}{1+u^{2}}\,du = \frac{1}{a}\arctan u + C.
  • Voltando a x:
\int \frac{1}{a^{2}+x^{2}}\,dx = \frac{1}{a}\arctan\!\left(\frac{x}{a}\right) + C.
  • Observação: válida para a>0; se a<0 a constante de sinal pode ser ajustada, mas a fórmula com |a| costuma ser usada \frac{1}{|a|}\arctan(x/a).

Passo 9

(g) Calcular \displaystyle \int \frac{1}{x\ln x}\,dx.
  • Observação: a derivada de \ln x é 1/x. Então substituição natural u=\ln x du=\dfrac{1}{x}dx.
  • Substituindo:
\int \frac{1}{x\ln x}\,dx = \int \frac{1}{u}\,du = \ln|u| + C = \ln\big|\ln x\big| + C.
  • Observação de domínio: essa expressão faz sentido para x>0 (pois \ln x aparece), e você pode adaptar sinais usando valor absoluto.

Passo 10

(h) Calcular \displaystyle \int \frac{1}{x}\cos(\ln x)\,dx.
  • Aqui de novo aparece \ln x dentro de uma função trigonométrica e um fator 1/x. Substituição u=\ln x com du=\dfrac{1}{x}dx é perfeita.
  • Substituindo:
\int \frac{1}{x}\cos(\ln x)\,dx = \int \cos(u)\,du = \sin u + C = \sin(\ln x) + C.

Passo 11

Antes de (i) e (j) vamos relembrar e justificar a integração por partes com um pouco de calma (para você aplicar na prova sem pânico).
  • Fórmula: \displaystyle \int U\,dV = UV - \int V\,dU.
  • Como escolher U e dV? Regra prática: escolha U como a parte que fica mais simples ao derivar (por exemplo um polinômio x ou \ln x ou \arcsin x), e escolha dV como a parte fácil de integrar (por exemplo \operatorname{sec}^{2}x\,dx integra para \tan x).
  • Exemplo mental: para \int x\operatorname{sec}^{2}x\,dx escolha U=x (deriva para 1) e dV=\operatorname{sec}^{2}x\,dx (integra para \tan x).

Passo 12

(i) Calcular \displaystyle \int x\operatorname{sec}^{2}x\,dx.
  • Use integração por partes. Tome U=x e dV=\operatorname{sec}^{2}x\,dx.
  • Então dU=dx e V=\tan x (porque \dfrac{d}{dx}\tan x=\operatorname{sec}^{2}x).
  • Aplicando a fórmula:
\int x\operatorname{sec}^{2}x\,dx = x\cdot \tan x - \int \tan x \cdot 1\,dx = x\tan x - \int \tan x\,dx.
  • Agora \int \tan x\,dx é padrão: \tan x = \dfrac{\sin x}{\cos x}. Uma primitiva conhecida é -\ln|\cos x|, pois \dfrac{d}{dx}\big(-\ln|\cos x|\big) = \dfrac{\sin x}{\cos x} = \tan x.
  • Então
\int x\operatorname{sec}^{2}x\,dx = x\tan x - \big(-\ln|\cos x|\big) + C = x\tan x + \ln|\cos x| + C.
  • Observação: também se costuma escrever \ln|\operatorname{sec} x| com sinal apropriado; esta forma é equivalente até constante.

Passo 13

(j) Calcular \displaystyle \int \arcsin(x)\,dx.
  • Aqui também uso integração por partes. Escolho U=\arcsin x (porque ao derivar fica mais simples) e dV=dx (fácil de integrar).
  • Então dU=\dfrac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}\,dx (derivada de \arcsin x) e V=x.
  • Aplicando integração por partes:
\int \arcsin x\,dx = x\arcsin x - \int x\cdot \frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}\,dx.
  • Precisamos calcular I=\int \dfrac{x}{\sqrt{1-x^{2}}}\,dx. Use substituição w=1-x^{2}. Então dw=-2x\,dx, ou x\,dx = -\dfrac{1}{2}\,dw.
  • Substituindo:
I = \int \frac{x}{\sqrt{1-x^{2}}}\,dx = \int \frac{-\tfrac{1}{2}\,dw}{\sqrt{w}} = -\frac{1}{2}\int w^{-1/2}\,dw.
  • Integral de w^{-1/2} é 2w^{1/2}. Então
I = -\frac{1}{2}\cdot 2 w^{1/2} + C = -\sqrt{w} + C = -\sqrt{1-x^{2}} + C.
  • Voltando para a integração por partes:
\int \arcsin x\,dx = x\arcsin x - \big(-\sqrt{1-x^{2}}\big) + C = x\arcsin x + \sqrt{1-x^{2}} + C.

Resposta

(a) \displaystyle \frac{1}{4}\sin\!\big(x^{4}\big)+C
(b) \displaystyle \frac{1}{6}\sin^{6}x
(c) \displaystyle \frac{1}{2}\tan^{2}x + C
(d) \displaystyle \frac{1}{2}\ln\big|3+2\tan x\big| + C
(e) \displaystyle 5\ln|x-1| + 2\ln|x| + 7\ln 2
(f) \displaystyle \frac{1}{a}\arctan\!\left(\frac{x}{a}\right) + C
(g) \displaystyle \ln\big|\ln x\big| + C
(h) \displaystyle \sin(\ln x) + C
(i) \displaystyle x\tan x + \ln|\cos x| + C
(j) \displaystyle x\arcsin x + \sqrt{1-x^{2}} + C

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