Para o orbital 1 s , a probabilidade de se achar um elétron em um ponto especifico do espaço é máxima quando r=0 (ponto no núcleo). Calcule a distância do núcleo em que o ponto deve estar para que a probabilidade caia a 10 \% da probabilidade máxima. ( 2,0 pontos)
\Psi_{1 s}=\frac{1}{\left(\pi a_{0}^{3}\right)^{1 / 2}} e^{-r / a_{o}}

Passo 1

O enunciado pede: encontrar a distância do núcleo r tal que a probabilidade de achar o elétron num ponto específico do espaço para o orbital 1s caia para 10\% da probabilidade máxima.
Informações dadas:
\Psi_{1s}=\frac{1}{\left(\pi a_{0}^{3}\right)^{1/2}} e^{-r/a_{0}}
Observações extraídas do enunciado:
  • A probabilidade por unidade de volume em um ponto do espaço é dada por |\Psi_{1s}|^{2}.
  • A probabilidade máxima ocorre em r=0 (valor no núcleo).
  • Queremos r tal que |\Psi_{1s}(r)|^{2}=0,1\cdot |\Psi_{1s}(0)|^{2} (usei 0,1 em vez de 10\% para evitar ambiguidade).

Passo 2

Vamos entender o que é |\Psi|^{2} e como usá-la:
  • A função de onda \Psi(\mathbf{r}) contém amplitude complexa; a probabilidade de encontrar a partícula por unidade de volume num ponto é |\Psi(\mathbf{r})|^{2}=\Psi^*(\mathbf{r})\Psi(\mathbf{r}).
  • No caso do orbital 1s dado, \Psi_{1s} é real e positivo, então |\Psi_{1s}|^{2}=\Psi_{1s}^{2}.
  • Vamos calcular explicitamente |\Psi_{1s}(r)|^{2} e o valor máximo |\Psi_{1s}(0)|^{2}.
Calculemos |\Psi_{1s}(r)|^{2}:
|\Psi_{1s}(r)|^{2}=\left(\frac{1}{\left(\pi a_{0}^{3}\right)^{1/2}} e^{-r/a_{0}}\right)^{2} =\frac{1}{\pi a_{0}^{3}} e^{-2r/a_{0}}.
No núcleo ( r=0):
|\Psi_{1s}(0)|^{2}=\frac{1}{\pi a_{0}^{3}}.

Passo 3

Agora impomos a condição do enunciado: a probabilidade em r deve ser 0,1 vezes a máxima. Escrevendo isso:
|\Psi_{1s}(r)|^{2}=0,1\;|\Psi_{1s}(0)|^{2}.
Substituindo as expressões que achamos:
\frac{1}{\pi a_{0}^{3}} e^{-2r/a_{0}} = 0,1\cdot\frac{1}{\pi a_{0}^{3}}.
Cancelamos o fator comum \frac{1}{\pi a_{0}^{3}} (não é zero), ficando:
e^{-2r/a_{0}} = 0,1.

Passo 4

Resolver a equação exponencial para r. Tomamos o logaritmo natural ( \ln) em ambos os lados:
-\,\frac{2r}{a_{0}} = \ln(0,1).
Lembrando que \ln(0,1)=\ln(10^{-1})=-\ln(10). Então:
-\,\frac{2r}{a_{0}} = -\ln(10)\quad\Longrightarrow\quad \frac{2r}{a_{0}}=\ln(10).
Isolando r:
r=\frac{a_{0}}{2}\,\ln(10).
Esta é a expressão analítica. Agora vamos calcular numericamente usando o raio de Bohr a_{0}. Usarei a_{0}=5,29\times10^{-11}\\ \mathrm{m} (equivalente a 0,529\\ \mathring{A}). Também usarei \ln(10)\approx2,302585.

Passo 5

Cálculo numérico:
r=\frac{5,29\times10^{-11}\\ \mathrm{m}}{2}\times 2,302585 =2,645\times10^{-11}\\ \mathrm{m}\times 2,302585 \approx 6,09\times10^{-11}\\ \mathrm{m}.
Convertendo para unidades mais usuais:
r\approx 6,09\times10^{-11}\\ \mathrm{m}=0,609\\ \mathring{A}=60,9\\ \mathrm{pm}.
Interpretação rápida: a probabilidade por unidade de volume cai para 10\% da máxima já a uma distância da ordem de 0,6\\ \mathring{A} do núcleo — bem pequena, mas maior que o núcleo em escala atômica (esse é o tamanho típico do orbital 1s).

Resposta

\;r\approx6,09\times10^{-11}\\ \mathrm{m}

Exercícios relacionados