Para o orbital 1 s , a probabilidade de se achar um elétron em um ponto especifico do espaço é máxima quando
(ponto no núcleo). Calcule a distância do núcleo em que o ponto deve estar para que a probabilidade caia a
da probabilidade máxima. ( 2,0 pontos)
Passo 1
O enunciado pede: encontrar a distância do núcleo
tal que a probabilidade de achar o elétron num ponto específico do espaço para o orbital
caia para
da probabilidade máxima.
Informações dadas:
Informações dadas:
Observações extraídas do enunciado:
- A probabilidade por unidade de volume em um ponto do espaço é dada por
. - A probabilidade máxima ocorre em
(valor no núcleo). - Queremos
tal que (usei em vez de para evitar ambiguidade).
Passo 2
Vamos entender o que é
e como usá-la:
- A função de onda
contém amplitude complexa; a probabilidade de encontrar a partícula por unidade de volume num ponto é . - No caso do orbital
dado, é real e positivo, então . - Vamos calcular explicitamente
e o valor máximo .
Calculemos
:
No núcleo (
):
Passo 3
Agora impomos a condição do enunciado: a probabilidade em
deve ser
vezes a máxima. Escrevendo isso:
Substituindo as expressões que achamos:
Cancelamos o fator comum
(não é zero), ficando:
Passo 4
Resolver a equação exponencial para
. Tomamos o logaritmo natural (
) em ambos os lados:
Lembrando que
. Então:
Isolando
:
Esta é a expressão analítica. Agora vamos calcular numericamente usando o raio de Bohr
. Usarei
(equivalente a
). Também usarei
.
Passo 5
Cálculo numérico:
Convertendo para unidades mais usuais:
Interpretação rápida: a probabilidade por unidade de volume cai para
da máxima já a uma distância da ordem de
do núcleo — bem pequena, mas maior que o núcleo em escala atômica (esse é o tamanho típico do orbital 1s).