Calcule:
g) integrale^2^+infty d xx ln ^3(x)

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Esse exercício está ligado ao cálculo de integrais, especificamente usando substituição para facilitar a resolução. Vamos precisar entender como fazer uma mudança de variável para simplificar essa integral.

Passo 2

Primeiro, vamos escolher uma substituição que simplifique o denominador. Vamos deixar . A ideia aqui é transformar a integral em termos de , o que geralmente facilita a resolução.

Passo 3

Agora, precisamos calcular o diferencial de . Se , então . Isso significa que . Vamos substituir isso na integral original.

Passo 4

Substituindo na integral, teremos:
integrale^2^+infty dxx ln^3(x) = integralu=2^+infty duu^3
Aqui, trocamos os limites de integração porque quando , , e quando tende ao infinito, também tende ao infinito.

Passo 5

Agora, vamos resolver a integral integral u^-3 du = u^-2-2 = -12u^2 . Essa é uma integral de uma função potência, e sabemos que:
Aplicando essa antiderivada nos limites de integração.

Passo 6

Aplicando os limites:
[-12u^2]2^+infty = (0 - (-12 cdot 2^2)) = 18
Quando tende ao infinito, tende a 0. Em , temos . A diferença dá .

Resposta

O valor da integral é .

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