Calcule:
p) integralpi / 2^+infty(sen xx+cos xx^2) d x

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos calcular a integral definida de no intervalo de até . Para resolver isso, vamos usar técnicas de cálculo de integrais e algumas propriedades de funções trigonométricas.

Passo 2

Vamos começar separando a integral em duas partes para facilitar a resolução:
integralpi2^+infty ( sin xx + cos xx^2 ) dx = integralpi2^+infty sin xx dx + integralpi2^+infty cos xx^2 dx

Passo 3

Observamos que a segunda integral pode ser resolvida por integração por partes. Vamos lembrar que a integração por partes é baseada na fórmula:
integral u , dv = uv - integral v , du
Escolhemos:
  • du = ( -sin x cdot 1x - cos x cdot 1x^2 ) dx
  • v = x
Calculando e :

Passo 4

Aplicando a fórmula de integração por partes na segunda integral:
integral cos xx^2 dx = cos xx |pi2^+infty - integralpi2^+infty ( -sin xx - cos xx^2 ) dx
Simplificando:
integral cos xx^2 dx = cos xx |pi2^+infty + integralpi2^+infty ( sin xx + cos xx^2 ) dx

Passo 5

Perceba que a integral resultante aparece tanto no lado esquerdo quanto no direito da equação. Vamos chamar essa integral de I = cos xx |pi2^+infty + I :
0 = cos xx |pi2^+infty
Subtraindo de ambos os lados:

Passo 6

Agora, vamos calcular o limite:
cos xx |pi2^+infty = limb to +infty cos bb - cos ( pi2 )pi2
Sabemos que e tende a 0 quando tende a .

Passo 7

Portanto, temos:
0 = 0 - 0
Isso confirma que o valor da integral é zero.

Resposta

A integral é igual a .

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