Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos calcular a integral definida de no intervalo de até . Para resolver isso, vamos usar técnicas de cálculo de integrais e algumas propriedades de funções trigonométricas.
Passo 2
Vamos começar separando a integral em duas partes para facilitar a resolução:
Passo 3
Observamos que a segunda integral pode ser resolvida por integração por partes. Vamos lembrar que a integração por partes é baseada na fórmula:
Escolhemos:
Calculando e :
Passo 4
Aplicando a fórmula de integração por partes na segunda integral:
Simplificando:
integral cos xx^2 dx = cos xx |pi2^+infty + integralpi2^+infty ( sin xx + cos xx^2 ) dx
Passo 5
Perceba que a integral resultante aparece tanto no lado esquerdo quanto no direito da equação. Vamos chamar essa integral de I = cos xx |pi2^+infty + I :
0 = cos xx |pi2^+infty
Subtraindo de ambos os lados:
Passo 6
Agora, vamos calcular o limite:
cos xx |pi2^+infty = limb to +infty cos bb - cos ( pi2 )pi2