Utilizando a derivação pelo parâmetro, calcule as seguintes integrais:
d) integral0^infty arct(alpha x)x(1+x^2) d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a integral definida de de 0 a infinito usando a técnica de derivação pelo parâmetro. Isso envolve cálculo integral e derivadas, então vamos precisar entender um pouquinho dessas ferramentas para resolver.

Passo 2

Primeiro, vamos chamar a integral de I(alpha) = integral0^infty arct(alpha x)x(1+x^2) , dx . Assim, temos:
Aqui, é um parâmetro que vamos usar para facilitar a derivação.

Passo 3

O próximo passo é derivar I'(alpha) = ddalpha integral0^infty arct(alpha x)x(1+x^2) , dx em relação a I'(alpha) = integral0^infty ddalpha ( arct(alpha x)x(1+x^2) ) dx . Isso é útil porque muitas vezes a derivada de uma integral é mais fácil de calcular. Então, derivando ambos os lados temos:
Pelo teorema da derivação sob o sinal da integral, podemos trocar a ordem de derivação e integração:

Passo 4

Vamos calcular a derivada dentro da integral. Sabemos que:
Substituindo na expressão da derivada:
ddalpha arct(alpha x) = x1 + (alpha x)^2

Passo 5

Agora, precisamos resolver essa nova integral. Podemos usar frações parciais para quebrar a expressão em termos mais simples. Vamos supor que:
1(1 + x^2)(1 + alpha^2x^2) = A1 + x^2 + B1 + alpha^2x^2
Multiplicando ambos os lados por A = 11 - alpha^2, B = -alpha^21 - alpha^2 e igualando os coeficientes, encontramos os valores de e :

Passo 6

Substituindo I'(alpha) = 11 - alpha^2 integral0^infty 11 + x^2 , dx - alpha^21 - alpha^2 integral0^infty 11 + alpha^2x^2 , dx e integral0^infty 11 + x^2 , dx = pi2, integral0^infty 11 + alpha^2x^2 , dx = pi2alpha na integral, temos:
I'(alpha) = 11 - alpha^2 cdot pi2 - alpha^21 - alpha^2 cdot pi2alpha = pi2 cdot 1 - alpha1 - alpha^2 = pi2(1 + alpha)
Sabemos que:
Substituindo esses valores:

Passo 7

Agora, vamos integrar I(alpha) = integral I'(alpha) , dalpha = integral pi2(1 + alpha) , dalpha = pi2 ln(1 + alpha) + C para encontrar I(0) = integral0^infty arct(0)x(1+x^2) , dx = 0 Rightarrow C = 0 :
Onde é a constante de integração. Para encontrar , vamos considerar :

Resposta

Portanto, a integral é igual a:
I(alpha) = pi2 ln(1 + alpha)

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