Utilizando a derivação pelo parâmetro, calcule as seguintes integrais:
d)
d)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a integral definida de de 0 a infinito usando a técnica de derivação pelo parâmetro. Isso envolve cálculo integral e derivadas, então vamos precisar entender um pouquinho dessas ferramentas para resolver.
Passo 2
Primeiro, vamos chamar a integral de
. Assim, temos:
Aqui,
é um parâmetro que vamos usar para facilitar a derivação.
Passo 3
O próximo passo é derivar
em relação a
. Isso é útil porque muitas vezes a derivada de uma integral é mais fácil de calcular. Então, derivando ambos os lados temos:
Pelo teorema da derivação sob o sinal da integral, podemos trocar a ordem de derivação e integração:
Passo 4
Vamos calcular a derivada dentro da integral. Sabemos que:
Substituindo na expressão da derivada:
Passo 5
Agora, precisamos resolver essa nova integral. Podemos usar frações parciais para quebrar a expressão em termos mais simples. Vamos supor que:
Multiplicando ambos os lados por
e igualando os coeficientes, encontramos os valores de
e
:
Passo 6
Substituindo
e
na integral, temos:
Sabemos que:
Substituindo esses valores:
Passo 7
Agora, vamos integrar
para encontrar
:
Onde
é a constante de integração. Para encontrar
, vamos considerar
:
Resposta
Portanto, a integral é igual a: