Sejam alpha, s, k in Re, s>0. Verifique que
e) integral0^+infty e^-s x senh(k x) d x=ks^2-k^2

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos que verificar que a integral de multiplicada pela função hiperbólica seno, que é , de até resulta em . O conteúdo aqui envolve integrais de funções exponenciais e hiperbólicas. Para resolver isso, a gente vai precisar conhecer as propriedades das funções hiperbólicas e como integrar funções exponenciais.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a função hiperbólica seno. A sinh(k x) = e^k x - e^-k x2 é definida como:
integral0^+infty e^-s x sinh(k x) , dx = integral0^+infty e^-s x ( e^k x - e^-k x2 ) dx
Vamos substituir essa expressão na integral original:

Passo 3

Vamos simplificar a integral distribuindo o integral0^+infty e^-s x e^k x - e^-s x e^-k x2 , dx = 12 ( integral0^+infty e^(k - s) x , dx - integral0^+infty e^-(s + k) x , dx ) :

Passo 4

Agora, vamos integrar cada uma das exponenciais separadamente. Sabemos que:
integral0^+infty e^a x , dx = 1-a se a < 0
Aplicando isso às duas integrais:
  1. Para 12 ( 1s - k - 1s + k ) , precisamos que , ou seja, .
  2. Para , sempre converge porque .
Então, temos:

Passo 5

Vamos simplificar essa expressão:
12 ( 1s - k - 1s + k ) = 12 ( (s + k) - (s - k)(s - k)(s + k) ) = 12 ( 2ks^2 - k^2 ) = ks^2 - k^2

Resposta

ks^2 - k^2

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