Sejam
. Verifique que
e)
e)
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos que verificar que a integral de
multiplicada pela função hiperbólica seno, que é
, de
até
resulta em
. O conteúdo aqui envolve integrais de funções exponenciais e hiperbólicas. Para resolver isso, a gente vai precisar conhecer as propriedades das funções hiperbólicas e como integrar funções exponenciais.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a função hiperbólica seno. A
é definida como:
Vamos substituir essa expressão na integral original:
Passo 3
Vamos simplificar a integral distribuindo o
:
Passo 4
Agora, vamos integrar cada uma das exponenciais separadamente. Sabemos que:
Aplicando isso às duas integrais:
- Para
, precisamos que , ou seja, . - Para
, sempre converge porque .
Então, temos:
Passo 5
Vamos simplificar essa expressão: