Calcule g^prime(t), onde g(t)=f circ alpha(t) nos seguintes casos:
© f(x, y)=x+2 y-x y, alpha(t)=(t^3, t^2);

Passo 1

Vamos resolver o problema de calcular a derivada de $ g(t) $, onde $ g(t) = f \circ \alpha(t) $. Isso significa que primeiro aplicamos a função $ \alpha(t) $ e depois a função $ f $ no resultado. Aqui, estamos lidando com funções de várias variáveis e a regra da cadeia para derivadas. Precisamos das expressões de $ f(x, y) = x + 2y - xy $ e $ \alpha(t) = \left(t^{3}, t^{2}\right) $.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que $ g(t) = f \circ \alpha(t) $ significa. Isso quer dizer que substituímos $ x $ e $ y $ em $ f(x, y) $ pelas componentes de $ \alpha(t) $. Então, temos:
g(t) = f circ alpha(t)

Passo 3

Agora, vamos substituir $ x = t^{3} $ e $ y = t^{2} $ na função $ f(x, y) $:
x = t^3
Simplificando:
y = t^2

Passo 4

Para encontrar $ g’(t) $, precisamos derivar $ g(t) $ em relação a $ t $. Vamos derivar cada termo separadamente:
g'(t)
g(t)
t

Passo 5

Agora, somamos as derivadas dos termos para obter $ g’(t) $:
g'(t)

Resposta

A derivada de $ g(t) $ é:
g(t)

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