Calcule
, onde
nos seguintes casos:
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Passo 1
Vamos resolver o problema de calcular a derivada de $ g(t) $, onde $ g(t) = f \circ \alpha(t) $. Isso significa que primeiro aplicamos a função $ \alpha(t) $ e depois a função $ f $ no resultado. Aqui, estamos lidando com funções de várias variáveis e a regra da cadeia para derivadas. Precisamos das expressões de $ f(x, y) = x + 2y - xy $ e $ \alpha(t) = \left(t^{3}, t^{2}\right) $.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que $ g(t) = f \circ \alpha(t) $ significa. Isso quer dizer que substituímos $ x $ e $ y $ em $ f(x, y) $ pelas componentes de $ \alpha(t) $. Então, temos:
Passo 3
Agora, vamos substituir $ x = t^{3} $ e $ y = t^{2} $ na função $ f(x, y) $:
Simplificando:
Passo 4
Para encontrar $ g’(t) $, precisamos derivar $ g(t) $ em relação a $ t $. Vamos derivar cada termo separadamente:
Passo 5
Agora, somamos as derivadas dos termos para obter $ g’(t) $:
Resposta
A derivada de $ g(t) $ é: