Calcule g^prime(t), onde g(t)=f circ alpha(t) nos seguintes casos:
(d) f(x, y)=sen(x+y+z), alpha(t)=(cos ^2(t), sen^2(t), t^2);

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular a derivada de $ g(t) $, onde $ g(t) = f \circ \alpha(t) $. Aqui, a função $ f $ é dada por $ f(x, y, z) = \sin(x + y + z) $ e a função $ \alpha(t) $ é $ \alpha(t) = \left(\cos^{2}(t), \sin^{2}(t), t^{2}\right) $. Vamos precisar usar a regra da cadeia e entender um pouco sobre derivadas compostas para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa $ g(t) = f \circ \alpha(t) $. Isso significa que estamos substituindo as funções de $ \alpha(t) $ dentro de $ f $. Então, vamos substituir $ x = \cos^{2}(t) $, $ y = \sin^{2}(t) $ e $ z = t^{2} $ na função $ f $.
Portanto, temos:
g(t) = f circ alpha(t)

Passo 3

Agora, vamos simplificar a expressão dentro do seno. Sabemos pela identidade trigonométrica que:
cos^2(t) + sin^2(t) = 1
Então, substituindo na expressão:
g(t) = sin(1 + t^2)

Passo 4

Para encontrar a derivada $ g’(t) $, vamos usar a regra da cadeia. A regra da cadeia nos diz que a derivada de uma função composta $ \sin(u(t)) $ é $ \cos(u(t)) \cdot u’(t) $, onde $ u(t) = 1 + t^{2} $.
Então, temos:
g'(t)

Passo 5

Agora, vamos calcular a derivada de $ 1 + t^{2} $ em relação a $ t $:
1 + t^2

Passo 6

Substituindo essa derivada de volta na expressão de $ g’(t) $, temos:
g'(t)
Podemos reescrever isso de uma forma mais clara:
g'(t) = cos(1 + t^2) cdot 2t

Resposta

A derivada é $ g^{\prime}(t) = 2t \cdot \cos(t^{2} + 1) $.

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