Calcule
, onde
nos seguintes casos:
(d)
;
(d)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular a derivada de $ g(t) $, onde $ g(t) = f \circ \alpha(t) $. Aqui, a função $ f $ é dada por $ f(x, y, z) = \sin(x + y + z) $ e a função $ \alpha(t) $ é $ \alpha(t) = \left(\cos^{2}(t), \sin^{2}(t), t^{2}\right) $. Vamos precisar usar a regra da cadeia e entender um pouco sobre derivadas compostas para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa $ g(t) = f \circ \alpha(t) $. Isso significa que estamos substituindo as funções de $ \alpha(t) $ dentro de $ f $. Então, vamos substituir $ x = \cos^{2}(t) $, $ y = \sin^{2}(t) $ e $ z = t^{2} $ na função $ f $.
Portanto, temos:
Passo 3
Agora, vamos simplificar a expressão dentro do seno. Sabemos pela identidade trigonométrica que:
Então, substituindo na expressão:
Passo 4
Para encontrar a derivada $ g’(t) $, vamos usar a regra da cadeia. A regra da cadeia nos diz que a derivada de uma função composta $ \sin(u(t)) $ é $ \cos(u(t)) \cdot u’(t) $, onde $ u(t) = 1 + t^{2} $.
Então, temos:
Passo 5
Agora, vamos calcular a derivada de $ 1 + t^{2} $ em relação a $ t $:
Passo 6
Substituindo essa derivada de volta na expressão de $ g’(t) $, temos:
Podemos reescrever isso de uma forma mais clara:
Resposta
A derivada é $ g^{\prime}(t) = 2t \cdot \cos(t^{2} + 1) $.