Calcule
, onde
nos seguintes casos:
(b)
;
(b)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcularmos $ g’(t) $, onde $ g(t) = f \circ \alpha(t) $. Aqui, $ f(x, y) = e{x{2} - y^{2}} $ e $ \alpha(t) = (t-1, t+1) $. Vamos usar o conceito de derivada de funções compostas, também conhecido como regra da cadeia.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa $ g(t) = f \circ \alpha(t) $. Isso quer dizer que estamos substituindo os componentes de $ \alpha(t) $ na função $ f $. Então,
Passo 3
Agora, vamos simplificar a expressão no expoente:
Explicando, ao elevar um binômio ao quadrado, aplicamos a fórmula $ (a \pm b)^2 = a^2 \pm 2ab + b^2 $. Então,
Subtraindo os dois resultados:
Então,
Passo 4
Agora que simplificamos $ g(t) $ para $ e^{-4t} $, vamos calcular a derivada em relação a $ t $. A derivada de $ e^{kt} $ em relação a $ t $ é $ k e^{kt} $, onde $ k $ é uma constante. No nosso caso, $ k = -4 $.
Então,
Resposta
A derivada de $ g(t) $ é $ g’(t) = -4,\mathrm{e}^{-4t} $.