Calcule g^prime(t), onde g(t)=f circ alpha(t) nos seguintes casos:
(b) f(x, y)=e^x^2-y^2, alpha(t)=(t-1, t+1);

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcularmos $ g’(t) $, onde $ g(t) = f \circ \alpha(t) $. Aqui, $ f(x, y) = e{x{2} - y^{2}} $ e $ \alpha(t) = (t-1, t+1) $. Vamos usar o conceito de derivada de funções compostas, também conhecido como regra da cadeia.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa $ g(t) = f \circ \alpha(t) $. Isso quer dizer que estamos substituindo os componentes de $ \alpha(t) $ na função $ f $. Então,
g(t) = f circ alpha(t)

Passo 3

Agora, vamos simplificar a expressão no expoente:
(t-1)^2 - (t+1)^2
Explicando, ao elevar um binômio ao quadrado, aplicamos a fórmula $ (a \pm b)^2 = a^2 \pm 2ab + b^2 $. Então,
(a pm b)^2 = a^2 pm 2ab + b^2
(t-1)^2 = t^2 - 2t + 1
Subtraindo os dois resultados:
(t+1)^2 = t^2 + 2t + 1
Então,
(t^2 - 2t + 1) - (t^2 + 2t + 1) = t^2 - 2t + 1 - t^2 - 2t - 1 = -4t

Passo 4

Agora que simplificamos $ g(t) $ para $ e^{-4t} $, vamos calcular a derivada em relação a $ t $. A derivada de $ e^{kt} $ em relação a $ t $ é $ k e^{kt} $, onde $ k $ é uma constante. No nosso caso, $ k = -4 $.
Então,
g(t)

Resposta

A derivada de $ g(t) $ é $ g’(t) = -4,\mathrm{e}^{-4t} $.

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