Seja y=x cos (x^2) e x=raizpi t^3.
(b) Use a Regra da Cadeia para calcular d yd t. Calcule d yd t(1).

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos duas funções:
  • $ y = x \cos \left(x^{2}\right) $
  • $ x = \sqrt{\pi} t^{3} $
O conteúdo envolvido aqui é o Cálculo Diferencial, especificamente a Regra da Cadeia, que nos ajuda a calcular derivadas de funções compostas. Para resolver, vamos precisar saber como aplicar a Regra da Cadeia para encontrar y = x cos (x^2) e depois calcular esse valor quando $ t = 1 $.

Passo 2

Vamos começar encontrando a derivada de $ y $ em relação a $ x $, ou seja, y . Dado que $ y = x \cos(x^{2}) $, usamos a regra do produto:
x

Passo 3

Agora, vamos derivar cos(x^2) em relação a $ x $. Usamos a Regra da Cadeia aqui:
x

Passo 4

Substituindo de volta na expressão para dydx:
dydx = cos(x^2) + x cdot (-2x sin(x^2)) = cos(x^2) - 2x^2 sin(x^2)

Passo 5

Agora, precisamos encontrar dxdt. Dado que $ x = \sqrt{\pi} t^{3} $:
x = raizpi t^3

Passo 6

Aplicando a Regra da Cadeia para encontrar dydt:
dydt = dydx cdot dxdt = ( cos(x^2) - 2x^2 sin(x^2) ) cdot 3raizpi t^2

Passo 7

Agora, substituímos $ x = \sqrt{\pi} t^{3} $ na expressão:
x = raizpi t^3
Então,
x^2 = (raizpi t^3)^2 = pi t^6

Passo 8

Finalmente, calculamos dydt quando $ t = 1 $:
t = 1
Sabemos que dydt(1) = ( cos(pi cdot 1^6) - 2pi cdot 1^6 sin(pi cdot 1^6) ) cdot 3raizpi cdot 1^2 e cos(pi) = -1, então:
sin(pi) = 0

Resposta

dydt(1) = -3raizpi

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