Seja
e
.
(b) Use a Regra da Cadeia para calcular
. Calcule
.
(b) Use a Regra da Cadeia para calcular
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos duas funções:
- $ y = x \cos \left(x^{2}\right) $
- $ x = \sqrt{\pi} t^{3} $
O conteúdo envolvido aqui é o Cálculo Diferencial, especificamente a Regra da Cadeia, que nos ajuda a calcular derivadas de funções compostas. Para resolver, vamos precisar saber como aplicar a Regra da Cadeia para encontrar
e depois calcular esse valor quando $ t = 1 $.
Passo 2
Vamos começar encontrando a derivada de $ y $ em relação a $ x $, ou seja,
. Dado que $ y = x \cos(x^{2}) $, usamos a regra do produto:
Passo 3
Agora, vamos derivar
em relação a $ x $. Usamos a Regra da Cadeia aqui:
Passo 4
Substituindo de volta na expressão para
:
Passo 5
Agora, precisamos encontrar
. Dado que $ x = \sqrt{\pi} t^{3} $:
Passo 6
Aplicando a Regra da Cadeia para encontrar
:
Passo 7
Agora, substituímos $ x = \sqrt{\pi} t^{3} $ na expressão:
Então,
Passo 8
Finalmente, calculamos
quando $ t = 1 $:
Sabemos que
e
, então: