Calcule g^prime(x).
(a) g(x)=log 3 x
(b) g(x)=log 5 x
© g(x)=log pi x
(d) g(x)=ln x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada de funções logarítmicas de diferentes bases, ou seja, g(x)=logₐx para a=3,5,π e também g(x)=ln x. Vamos usar a mudança de base e a regra da derivada da função ln.

Passo 2

Sabendo que logₐx pode ser escrito como ln x/ln a, temos g(x)=ln x/ln a. Como ln a é constante, pela derivação de uma razão em que só o numerador depende de x (e usando (d/dx) ln x=1/x), obtemos:

Passo 3

g'(x)=1ln acdotddx(ln x)=1ln acdot1x=1xln a

Passo 4

Basta agora substituir a nas letras (a), (b), © e lembrar que ln x é o caso a=e, logo g’(x)=1/x.

Resposta

(a) g’(x)=\frac{1}{x\ln 3}
(b) g’(x)=\frac{1}{x\ln 5}
© g’(x)=\frac{1}{x\ln \pi}
(d) g’(x)=\frac{1}{x}

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