Em uma circunferência
, inscreva um retângulo de área máxima, com lados paralelos aos eixos coordenados.
Passo 1
Vamos entender a questão: estamos em uma circunferência
e queremos inscrever um retângulo com lados paralelos aos eixos de modo que sua área seja máxima. O conteúdo envolve otimização de uma função com restrição, que vamos tratar transformando em um problema de função única e usar cálculo para maximizar.
Passo 2
Modelar o retângulo: se um vértice no primeiro quadrante é
, então os lados do retângulo têm comprimento
e
. Logo a área é
e os pontos
satisfazem a restrição
.
Passo 3
Expressar a área como função de uma variável: isolando
da restrição, temos
. Substituindo em
, obtemos
Passo 4
Encontrar o ponto crítico: derivamos
em relação a
e igualamos a zero. Fazendo a derivada e simplificando chega-se a
Passo 5
Determinar
e a área máxima: com
, segue
. Ou seja, o retângulo é um quadrado de lado
e a área máxima é
Resposta
O retângulo de área máxima é um quadrado com vértices
e tem área
.