Em uma circunferência x^2+y^2=r^2, inscreva um retângulo de área máxima, com lados paralelos aos eixos coordenados.

Passo 1

Vamos entender a questão: estamos em uma circunferência x^2+y^2=r^2 e queremos inscrever um retângulo com lados paralelos aos eixos de modo que sua área seja máxima. O conteúdo envolve otimização de uma função com restrição, que vamos tratar transformando em um problema de função única e usar cálculo para maximizar.

Passo 2

Modelar o retângulo: se um vértice no primeiro quadrante é (x,y), então os lados do retângulo têm comprimento 2x e 2y. Logo a área é A=4xy e os pontos (x,y) satisfazem a restrição x^2+y^2=r^2.

Passo 3

Expressar a área como função de uma variável: isolando y da restrição, temos y=raizr^2-x^2. Substituindo em A, obtemos
A(x)=4xraizr^2-x^2

Passo 4

Encontrar o ponto crítico: derivamos A(x) em relação a x e igualamos a zero. Fazendo a derivada e simplificando chega-se a
r^2-2x^2=0 o que implica x=tfracrraiz2.

Passo 5

Determinar y e a área máxima: com x=tfracrraiz2, segue y=tfracrraiz2. Ou seja, o retângulo é um quadrado de lado raiz2,r e a área máxima é
Amax=(raiz2,r)^2=2r^2

Resposta

O retângulo de área máxima é um quadrado com vértices (pmtfracrraiz2,pmtfracrraiz2) e tem área 2r^2.

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