Calcule f^prime(x) :
(a) f(x)=x^2 e^x
(b) f(x)=3 x+5 ln x
© f(x)=e^x cos x
(d) f(x)=1+e^x1-e^x
(e) f(x)=x^2 ln x+2 e^x
(f) f(x)=x+1x ln x
(g) f(x)=e^xx^2+1
(h) f(x)=e^xx+1

Passo 1

Resumo: precisamos calcular a derivada de oito funções que envolvem regras de derivação como soma, produto, quociente, além de derivadas de e^x, ln x e cos x.

Passo 2

Para (a) f(x)=x^2 e^x, usamos a regra do produto: f'(x)= (x^2)' e^x + x^2 (e^x)' = 2x e^x + x^2 e^x = e^x(x^2+2x).

Passo 3

Para (b) f(x)=3x+5ln x, aplicamos a regra da soma e as derivadas de funções básicas: f'(x)=3 + 5cdot1x = 3 +5x.

Passo 4

Para © f(x)=e^x cos x, novamente a regra do produto, sabendo que (e^x)'=e^x e (cos x)'=-sin x: f'(x)=e^xcos x + e^x(-sin x)=e^x(cos x-sin x).

Passo 5

Para (d) f(x)=1+e^x1-e^x, usamos a regra do quociente com (1+e^x)'=e^x e (1-e^x)'=-e^x: f'(x)=(1-e^x)e^x - (1+e^x)(-e^x)(1-e^x)^2 = 2e^x(1-e^x)^2

Passo 6

Para (e) f(x)=x^2ln x + 2e^x, separamos em soma: derivada de x^2ln x pela regra do produto e de 2e^x pela derivada exponencial: f'(x)=2xln x + x^2cdot1x + 2e^x = 2xln x + x + 2e^x

Passo 7

Para (f) f(x)=x+1xln x, o denominador é produto de x e ln x, então usamos produto dentro do quociente: u=x+1, v=xln x, u'=1, v'=ln x +1. Aplicando quociente: f'(x)=(xln x)cdot1 - (x+1)(ln x +1)(xln x)^2 = -,ln x + x +1x^2ln^2 x

Passo 8

Para (g) f(x)=e^xx^2+1, quociente simples com (x^2+1)'=2x: f'(x)=e^x(x^2+1) - e^xcdot2x(x^2+1)^2 = e^x(x^2 -2x +1)(x^2+1)^2 = e^x(x-1)^2(x^2+1)^2

Passo 9

Para (h) f(x)=e^xx+1, regra do quociente com (x+1)'=1: f'(x)=e^x(x+1) - e^x(x+1)^2 = e^x x(x+1)^2

Resposta

a) f'(x)=e^x(x^2+2x)
b) f'(x)=3+5x
c) f'(x)=e^x(cos x-sin x)
d) f'(x)=2e^x(1-e^x)^2
e) f'(x)=2xln x + x + 2e^x
f) f'(x)=-ln x + x +1x^2ln^2 x
g) f'(x)=e^x(x-1)^2(x^2+1)^2
h) f'(x)=e^x x(x+1)^2

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