Uma centena de animais pertencentes a uma espécie em perigo de extinção estão colocadas numa reserva de proteção ambiental. Decorridos t anos, estimou-se que a população desses animais na reserva seja dada pela fórmula
p(t)=100(t^2+5 t+25t^2+25)
Após quantos anos a população será máxima nesta reserva?

Passo 1

O enunciado dá a população em função do tempo via a fórmula p(t)=100(t^2+5t+25t^2+25). A matéria aqui é cálculo de máximo de função real de uma variável, e vamos precisar usar derivada e a regra do quociente para encontrar o ponto crítico.

Passo 2

Para simplificar, definimos a função f(t)=t^2+5t+25t^2+25, de modo que p(t)=100,f(t). Como o fator 100 é constante e positivo, maximizar p(t) é o mesmo que maximizar f(t).

Passo 3

Calculamos a derivada de f(t) usando a regra do quociente. Se u(t)=t^2+5t+25 e v(t)=t^2+25, então
$$f’(t)=\frac{u’(t)v(t)-u(t)v’(t)}{\bigl(v(t)\bigr)^{2}}
=\frac{(2t+5)(t{2}+25)-(t{2}+5t+25)\cdot2t}{(t{2}+25){2}}.$$

Passo 4

Expandindo o numerador:
(2t+5)(t^2+25)=2t^3+5t^2+50t+125,
2t(t^2+5t+25)=2t^3+10t^2+50t,
logo o numerador fica
N(t)=l(2t^3+5t^2+50t+125r)-l(2t^3+10t^2+50tr)=125-5t^2

Passo 5

Para ponto crítico, igualamos N(t)=0, o que dá 125-5t^2=0 e então t^2=25. Como o tempo t é não negativo, temos t=5 anos.

Passo 6

Para confirmar que é máximo, basta observar que para t=0 a população vale 100 e, quando ttoinfty, f(t)to1 (portanto p(t)to100). Em t=5 a população é maior ( p(5)=150), garantindo que é um máximo global.

Resposta

5 anos

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