Uma centena de animais pertencentes a uma espécie em perigo de extinção estão colocadas numa reserva de proteção ambiental. Decorridos
anos, estimou-se que a população desses animais na reserva seja dada pela fórmula
Após quantos anos a população será máxima nesta reserva?
Passo 1
O enunciado dá a população em função do tempo via a fórmula
. A matéria aqui é cálculo de máximo de função real de uma variável, e vamos precisar usar derivada e a regra do quociente para encontrar o ponto crítico.
Passo 2
Para simplificar, definimos a função
, de modo que
. Como o fator 100 é constante e positivo, maximizar
é o mesmo que maximizar
.
Passo 3
Calculamos a derivada de
usando a regra do quociente. Se
e
, então
$$f’(t)=\frac{u’(t)v(t)-u(t)v’(t)}{\bigl(v(t)\bigr)^{2}}
=\frac{(2t+5)(t{2}+25)-(t{2}+5t+25)\cdot2t}{(t{2}+25){2}}.$$
Passo 4
Expandindo o numerador:
logo o numerador fica
Passo 5
Para ponto crítico, igualamos
, o que dá
e então
. Como o tempo
é não negativo, temos
anos.
Passo 6
Para confirmar que é máximo, basta observar que para
a população vale
e, quando
,
(portanto
). Em
a população é maior (
), garantindo que é um máximo global.
Resposta
5 anos