Calcule g^prime(x) onde g(x)=integralcos x^sin x e^t^2 d t

Passo 1

O enunciado nos dá a função g(x)=∫_{cos x}^{sin x} e{t2} dt, pede g′(x). O conteúdo é derivação de integral definida com limites variáveis. Para resolver, vamos usar o Teorema Fundamental do Cálculo estendido e Regra da Cadeia.

Passo 2

Pelo Teorema Fundamental do Cálculo para limites dependentes, se G(x)=∫_{u(x)}^{v(x)} f(t) dt, então
G'(x)=f(v(x)),v'(x)-f(u(x)),u'(x)
Aqui temos u(x)=cos x, v(x)=sin x e f(t)=e{t2}. Calculamos u’(x)=-sin x e v’(x)=cos x. Substituindo na fórmula:
g'(x)=e^(sin x)^2,cos x - e^(cos x)^2,(-sin x)

Passo 3

Agora é só simplificar o sinal negativo:
g'(x)=cos x,e^sin^2 x+sin x,e^cos^2 x

Resposta

g'(x)=cos x,e^sin^2 x+sin x,e^cos^2 x

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