Determine o volume do sólido obtido pela rotação em torno do eixo O x do conjunto
A=(x, y) in R^2: y >= raizx e(x-1)^2+y^2 <= 1.

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido obtido ao rotacionar em torno do eixo Ox a região A definida por duas condições: pertencer ao disco de raio 1 centrado em (1,0), isto é (x-1)^2 + y^2 <= 1, e estar acima da curva y = raizx. O conteúdo é volume de revolução por método dos discos (ou anéis), e vamos precisar: achar o intervalo em x onde as curvas se intersectam, expressar as funções de limite inferior e superior de y e aplicar a fórmula V = pi integral [raio externo^2 - raio interno^2] ,dx

Passo 2

Primeiro encontramos os pontos em que o círculo e a parábola se cortam, resolvendo
(x-1)^2 + l(raizxr)^2 = 1
Ou seja:
(x-1)^2 + x = 1 ; Longrightarrow; x^2 -2x +1 + x -1 =0 ; Longrightarrow; x(x-1)=0
Logo x=0 e x=1. Para x fora de [0,1] a condição y>=raizx não é compatível com o disco.

Passo 3

No intervalo 0<= x<=1, a região A é dada por
limite inferior: y=raizx,
limite superior: y = raiz1-(x-1)^2 (a semirreta superior do círculo).

Passo 4

Aplicamos o método dos anéis: o raio externo é ysup=raiz1-(x-1)^2 e o interno yinf=raizx. Portanto o volume é dado por
V = pi integral0^1 l[l(raiz1-(x-1)^2r)^2 - (raizx)^2r] ,dx

Passo 5

Simplificando o integrando:
l(raiz1-(x-1)^2r)^2 - (raizx)^2 = l[1 - (x-1)^2r] - x = 1 - (x^2 -2x +1) - x = x - x^2
Logo
V = pi integral0^1 (x - x^2) ,dx = pi l[tfracx^22 - tfracx^33r]0^1 = pi l(tfrac12 - tfrac13r) = pi6

Resposta

pi6

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