Determine o volume do sólido obtido pela rotação em torno do eixo
do conjunto
.
Passo 1
O enunciado pede o volume do sólido obtido ao rotacionar em torno do eixo Ox a região A definida por duas condições: pertencer ao disco de raio 1 centrado em (1,0), isto é
, e estar acima da curva
. O conteúdo é volume de revolução por método dos discos (ou anéis), e vamos precisar: achar o intervalo em
onde as curvas se intersectam, expressar as funções de limite inferior e superior de
e aplicar a fórmula
Passo 2
Primeiro encontramos os pontos em que o círculo e a parábola se cortam, resolvendo
Ou seja:
Logo
e
. Para
fora de
a condição
não é compatível com o disco.
Passo 3
No intervalo
, a região A é dada por
limite inferior: ,
limite superior: (a semirreta superior do círculo).
limite inferior:
limite superior:
Passo 4
Aplicamos o método dos anéis: o raio externo é
e o interno
. Portanto o volume é dado por
Passo 5
Simplificando o integrando:
Logo