A região limitada pelas curvas y=x e y=x^2 no primeiro quadrante é rotacionada em torno do eixo O y. O volume do sólido obtido é: (a) pi12;
(b) pi6;
© pi3 ; (d) 2 pi3;
(e) 3 pi2.

Passo 1

Neste exercício vamos encontrar o volume do sólido gerado pela rotação da região limitada pelas curvas y = x^2 e y = x no primeiro quadrante em torno do eixo Oy. O conteúdo principal é o cálculo de volumes pelo método dos cascos cilíndricos.

Passo 2

A região está entre as curvas que se intersectam em x^2 = x, ou seja, em x = 0 e x = 1. Para cada x em [0,1], o fragmento que gira tem raio até o eixo Oy igual a x e altura igual ao valor superior menos o inferior, isto é, x - x^2.

Passo 3

Aplicando o método dos cascos cilíndricos, o volume total é dado por
V = 2pi integral0^1 x cdot (x - x^2) ,dx
Calculando a integral interna, temos integral0^1 (x^2 - x^3),dx = tfrac13 - tfrac14 = tfrac112, de onde
V = 2pi cdot tfrac112 = tfrac2pi12

Resposta

tfracpi6

Exercícios relacionados