Resolva as seguintes equações diferenciais pelo método de separação de variáveis:
(a) y^prime=e^x+y R. y=ln (1-C-e^x)

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial de primeira ordem
y' = e^x+y
usando o método de separação de variáveis.

Passo 2

Primeiro reconhecemos que
y' = dydx = e^x+y = e^x,e^y
Então podemos separar as variáveis colocando todos os termos em y de um lado e os termos em x do outro:

Passo 3

Escrevemos
e^-y,dy = e^x,dx
Aqui usamos que dividir por e^y é o mesmo que multiplicar por e^-y.

Passo 4

Agora integramos ambos os lados:
integral e^-y,dy = integral e^x,dx
No lado esquerdo temos integral e^-y,dy = -e^-y + C1 e no direito integral e^x,dx = e^x + C2.

Passo 5

Podemos agrupar as constantes numa só, digamos C = C2 - C1. Fica então
-,e^-y = e^x + C

Passo 6

Isolando e^-y e depois y:
e^-y = -,e^x - C
-,y = lnl(-,e^x - Cr)
y = lnl(1-,e^x - Cr)

Passo 7

Assim chegamos à solução geral via separação de variáveis.

Resposta

y = lnl(tfrac1-C - e^xr)

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