Calcule g^prime(x) onde:
g(x)=integralraizx^2 raizx sen(t^2) d t

Passo 1

O enunciado pede a derivada de uma função definida por uma integral com limites que dependem de x: g(x)=∫₍√x₎^{2√x} sen(t²) dt. O tema é a regra de Leibniz para derivar integrais com limites variáveis.

Passo 2

Identificamos a função interna f(t)=sen(t²), o limite inferior u(x)=√x e o limite superior v(x)=2√x.

Passo 3

Calculamos as derivadas dos limites: u’(x)=d(√x)/dx=1/(2√x) e v’(x)=d(2√x)/dx=2·(1/(2√x))=1/√x.

Passo 4

Aplicamos a regra de Leibniz: g’(x)=f(v(x))·v’(x)−f(u(x))·u’(x).

Passo 5

Substituímos f, v(x), u(x) e suas derivadas: f(v(x))=sen((2√x)²)=sen(4x), f(u(x))=sen((√x)²)=sen(x). Então
g'(x)=sen(4x)cdot1raizx - sen(x)cdot12raizx
Podemos fatorar 1/(2√x):
g'(x)=2,sen(4x) - sen(x)2raizx

Resposta

g'(x)=sen(4x)raizx - sen(x)2raizx=2,sen(4x)-sen(x)2raizx

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