Calcule
onde:
Passo 1
O enunciado pede a derivada de uma função definida por uma integral com limites que dependem de x: g(x)=∫₍√x₎^{2√x} sen(t²) dt. O tema é a regra de Leibniz para derivar integrais com limites variáveis.
Passo 2
Identificamos a função interna f(t)=sen(t²), o limite inferior u(x)=√x e o limite superior v(x)=2√x.
Passo 3
Calculamos as derivadas dos limites: u’(x)=d(√x)/dx=1/(2√x) e v’(x)=d(2√x)/dx=2·(1/(2√x))=1/√x.
Passo 4
Aplicamos a regra de Leibniz: g’(x)=f(v(x))·v’(x)−f(u(x))·u’(x).
Passo 5
Substituímos f, v(x), u(x) e suas derivadas: f(v(x))=sen((2√x)²)=sen(4x), f(u(x))=sen((√x)²)=sen(x). Então
Podemos fatorar 1/(2√x):