Seja L(y)(s) a transformada de Laplace da solução do PVI ly^prime prime+3 y^prime+2 y=f(t), y(0)=0, y^prime(0)=0 sendo f(t)=l1, se 0 <= t<10, 0, se t >= 10
Obtenha a função que tem L(y)(s) como transformada de Laplace.

Passo 1

O enunciado pede a solução por transformada de Laplace do PVI y''+3y'+2y=f(t) com y(0)=0, y'(0)=0 e f(t)=1 para 0<= t<10, zero após. Vamos usar as propriedades de transformada de Laplace de derivadas e de funções escalonadas.

Passo 2

Aplico a transformada de Laplace ao PVI. Como as condições iniciais são zero, vale:
Ly''(s)=s^2Y(s), Ly'(s)=sY(s), Ly(s)=Y(s)
Além disso, escrevo f(t)=1-u(t-10), de modo que
Lf(t)(s)=1s-e^-10ss

Passo 3

Substituo na equação transformada:
(s^2+3s+2)Y(s)=1-e^-10ss
Logo
Y(s)=1-e^-10ss(s^2+3s+2)=1-e^-10ss(s+1)(s+2)

Passo 4

Separe em duas frações para inverter mais fácil:
Y(s)=1s(s+1)(s+2)-e^-10ss(s+1)(s+2)
Agora fazemos frações parciais em
1s(s+1)(s+2)=As+Bs+1+Cs+2

Passo 5

Calculo de A,B,C:
Resolvendo
1=A(s+1)(s+2)+B,s(s+2)+C,s(s+1)
obtemos A=1/2, B=-1, C=1/2. Assim
1s(s+1)(s+2)=1/2s-1s+1+1/2s+2

Passo 6

Inverto cada termo usando L^-11/s=1 e L^-11/(s+a)=e^-at, e a propriedade do deslocamento de Heaviside:
h(t)=12- e^-t+12e^-2t,
y(t)=h(t)-h(t-10),u(t-10)

Resposta

y(t)=\Bigl(\tfrac12- e{-t}+\tfrac12e{-2t}\Bigr)-\Bigl(\tfrac12- e{-(t-10)}+\tfrac12e{-2(t-10)}\Bigr),u(t-10)

Exercícios relacionados