Seja R a região do plano limitada pelas curvas y=x e y=x^2.
Calcule o volume do sólido obtido pela rotação da região R em torno da reta y=2.

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido obtido ao girar em torno da reta y=2 a região R limitada por y=x^2 e y=x. Isso é um problema de cálculo de volume por revolução, para o qual vamos usar o método dos discos anelares (washers).

Passo 2

Primeiro, encontramos os limites de integração determinando onde x^2 = x. Isso dá x(x-1)=0, logo x=0 e x=1. Nessas abscissas, temos as interseções da região.

Passo 3

Como a rotação é em torno da reta horizontal y=2, usamos discos anelares. Para cada xin[0,1]:
Rexterno(x)=2 - x^2,
Rinterno(x)=2 - x,
e a área do anel é
A(x)=pil(Rexterno^2 - Rinterno^2r)

Passo 4

Substituindo e simplificando:
A(x)=pil((2 - x^2)^2 - (2 - x)^2r)
Expandindo:
(2 - x^2)^2 - (2 - x)^2 = x^4 - 5x^2 + 4x
Então o volume é
V = integral0^1A(x),dx = piintegral0^1(x^4 - 5x^2 + 4x),dx
e o integral do polinômio é
integral0^1(x^4 - 5x^2 + 4x),dx = 815

Resposta

tfrac8pi15

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