Seja R a região do plano limitada pelas curvas y=x e y=x^2.
Calcule o volume do sólido obtido pela rotação da região R em torno do eixo x.

Passo 1

O enunciado quer o volume do sólido obtido ao girar em torno do eixo x a região delimitada por y=x e y=x². O conteúdo aqui é o método dos discos (ou anéis), e vamos precisar das interseções das curvas e da fórmula do volume via integral de raios.

Passo 2

Para identificar os limites de integração, igualamos as curvas y=x e y=x²: x = x^2 implies x(x-1)=0 implies x=0 ou x=1 Logo, a região fica para x de 0 até 1.

Passo 3

Pelo método dos anéis, o volume é dado por V = pi integrala^bl(Rexterno^2 - Rinterno^2r),dx Aqui o raio externo é a curva mais alta y=x e o interno é y=x², com a=0 e b=1. Assim: V = piintegral0^1l(x^2 - (x^2)^2r),dx = piintegral0^1(x^2 - x^4),dx

Passo 4

Agora basta calcular a integral: integral0^1(x^2 - x^4),dx = l[tfracx^33 - tfracx^55r]0^1 = tfrac13 - tfrac15 = tfrac215 Multiplicando por π, obtemos o volume.

Resposta

V = tfrac2pi15

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