Calcule g^prime(x) onde g(x)=integralraizx^2 raizx sin (t^2) d t

Passo 1

Temos a função definida por
g(x)=integralraizx^2raizxsinl(t^2r),dt,
o conteúdo aqui é derivar uma integral cujos limites são funções de x. Para resolver, vamos usar a regra de Leibniz para diferenciação sob o sinal de integral.

Passo 2

A regra de Leibniz diz que, se
g(x)=integrala(x)^b(x)f(t),dt,
então
g'(x)=fl(b(x)r),b'(x)-fl(a(x)r),a'(x)
No nosso caso, f(t)=sin(t^2), a(x)=raizx e b(x)=2raizx.

Passo 3

Vamos calcular as derivadas dos limites:
Para b(x)=2raizx=2x^1/2:
b'(x)=2cdot12x^-1/2=1raizx
Para a(x)=raizx=x^1/2:
a'(x)=12x^-1/2=12raizx

Passo 4

Agora aplicamos a regra de Leibniz:
g'(x)=sinl((2raizx)^2r),1raizx - sinl((raizx)^2r),12raizx
Repare que (2raizx)^2=4x e (raizx)^2=x.

Passo 5

Substituindo esses valores e simplificando:
$$g’(x)=\frac{\sin(4x)}{\sqrt{x}} - \frac{\sin(x)}{2\sqrt{x}}
=\frac{2\sin(4x)-\sin(x)}{2\sqrt{x}}.$$

Passo 6

Pronto! Chegamos a expressão simplificada para g'(x).

Resposta

g'(x)=sin(4x)raizx - sin(x)2raizx=2sin(4x)-sin(x)2raizx

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