(2,5 pontos) Calcule integral (x+1)(x-1)^2+1(x+1)(x-1)^2 d x.

Passo 1

O enunciado pede para calcular integral (x+1)(x-1)^2+1(x+1)(x-1)^2,dx. O conteúdo é integração de função racional usando decomposição em frações parciais; vamos precisar usar que a integral de soma é soma das integrais e depois quebrar a parte racional em termos mais simples.

Passo 2

Observando o integrando, dividimos o numerador pelo denominador:
(x+1)(x-1)^2+1(x+1)(x-1)^2 = 1 + 1(x+1)(x-1)^2Assim a integral vira
integral 1,dx + integral 1(x+1)(x-1)^2,dx

Passo 3

Para a segunda integral fazemos fração parcial. Escrevemos:
1(x+1)(x-1)^2 = Ax+1 + Bx-1 + C(x-1)^2Multiplicando por (x+1)(x-1)^2 e igualando coeficientes, temos
1 = A(x-1)^2 + B(x+1)(x-1) + C(x+1)Expandindo e coletando termos em x^2,x, e constante, obtemos o sistema:
A + B = 0, -2A + C = 0, A - B + C = 1

Passo 4

Resolvendo, achamos A=tfrac14, B=-tfrac14 e C=tfrac12. Então a integral se torna
integral 1,dx + integrall(tfrac141x+1 - tfrac141x-1 + tfrac121(x-1)^2r)dx

Passo 5

Agora basta integrar termo a termo usando:\newline- integral1,dx = x,\newline- integral1x-adx=ln|x-a|,\newline- integral(x-1)^-2dx = -(x-1)^-1. Fazendo isso, obtemos
x + tfrac14ln|x+1| - tfrac14ln|x-1| - tfrac12(x-1) + C

Resposta

x + 14ln|x+1| - 14ln|x-1| - 12(x-1) + C

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