O enunciado pede para calcular . O conteúdo é integração de função racional usando decomposição em frações parciais; vamos precisar usar que a integral de soma é soma das integrais e depois quebrar a parte racional em termos mais simples.
Passo 2
Observando o integrando, dividimos o numerador pelo denominador:
Assim a integral vira
Passo 3
Para a segunda integral fazemos fração parcial. Escrevemos:
Multiplicando por e igualando coeficientes, temos
Expandindo e coletando termos em e constante, obtemos o sistema:
Passo 4
Resolvendo, achamos A=tfrac14, B=-tfrac14 e C=tfrac12. Então a integral se torna
integral 1,dx + integrall(tfrac141x+1 - tfrac141x-1 + tfrac121(x-1)^2r)dx
Passo 5
Agora basta integrar termo a termo usando:\newline- integral1,dx = x,\newline- integral1x-adx=ln|x-a|,\newline- integral(x-1)^-2dx = -(x-1)^-1. Fazendo isso, obtemos
x + tfrac14ln|x+1| - tfrac14ln|x-1| - tfrac12(x-1) + C