Questão 3 (3 pontos) Determine o valor das integrais:
integral0^2 integral0^raiz4-x^2 e^-x^2-y^2 d y d x ; R=pi(1-e^-4)4

Passo 1

Estamos calculando a integral dupla integral0^2integral0^raiz4 - x^2 e^-x^2-y^2,dy,dx. O conteúdo envolve integrais duplas e é ideal usar coordenadas polares para transformar a região e o integrando.

Passo 2

Fazemos a mudança para coordenadas polares: x = rcostheta, y = rsintheta e o jacobiano é r. A região é o primeiro quadrante dentro do círculo de raio 2, ou seja 0 <= r <= 2 e 0 <= theta <= pi/2. A integral fica
integral0^pi/2integral0^2 e^-r^2,r,dr,dtheta

Passo 3

Calculamos primeiro a parte radial:
integral0^2 e^-r^2,r,dr
Fazemos a substituição u = r^2, logo du = 2r,dr. Assim:
integral0^2 e^-r^2r,dr = 12integral0^4 e^-u,du = 12l(1 - e^-4r)

Passo 4

Em seguida, avaliamos a parte angular:
integral0^pi/2 dtheta = pi2

Resposta

pil(1 - e^-4r)4

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