(1.5 ponto) Seja F(x)=integral1^x^2-1 18raiz1+u du. Calcule F^prime(18).

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada de
F(x)=\int_{1}{x{2}-1}\frac{18}{\sqrt{1+u}},du no ponto x=18. O conteúdo é o Teorema Fundamental do Cálculo combinado com a Regra da Cadeia.

Passo 2

Pelo Teorema Fundamental do Cálculo, se G(x)=\int_{a}^{g(x)}f(u),du então G’(x)=f(g(x))\cdot g’(x). Aqui temos f(u)=\frac{18}{\sqrt{1+u}} e g(x)=x^{2}-1.

Passo 3

Aplicando a regra, obtemos
F'(x)=fl(x^2-1r)cdotddx(x^2-1)
Ou seja, calculamos cada parte:
  1. ddx(x^2-1)=2x.
  2. f(x^2-1)=18raiz1+(x^2-1)=18raizx^2=18|x|.

Passo 4

Como queremos x=18>0, temos |x|=x. Então
F'(x)=18xcdot2x=36

Passo 5

Logo, para qualquer x>0, F’(x)=36, em particular F’(18)=36.

Resposta

36

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