Calcule
, sendo
dada por
(d)
(d)
Passo 1
O enunciado pede para calcular a derivada
da função dada. A função fornecida é
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- A função é a raiz quadrada principal de
. - A raiz quadrada real está definida para
. - Preciso encontrar
, ou seja, a derivada de em função de .
Passo 2
Recordando a definição de derivada (a ferramenta básica que sempre funciona): para uma função
definida em torno de um ponto
,
quando esse limite existir. Aqui
é o incremento na variável
e o quociente representa a taxa média de variação; ao tomar
obtemos a taxa instantânea (a derivada).
Passo 3
Aplicando a definição à nossa
(vou usar notação curta
para
):
Esse quociente tem a forma
quando
, então precisamos manipular algebricamente para calcular o limite. Uma técnica clássica para expressões com raízes é racionalizar pelo conjugado: multiplicamos numerador e denominador por
. Fazendo isso obtemos
Passo 4
Continuando a simplificação do numerador:
Substituindo de volta:
Agora tomamos o limite quando
:
desde que a expressão faça sentido — ou seja, desde que
exista e seja diferente de
no denominador como parte do limite.
Passo 5
Comentário sobre domínio e pontos especiais: a dedução acima vale para pontos
, porque para tais
temos
e a expressão final é finita. Para
a função
não está definida (no conjunto dos reais), portanto não faz sentido falar em derivada real ali. Para
podemos checar a derivada lateral direita:
logo não existe derivada finita em
. Conclusão:
é diferenciável para
e não é diferenciável em
.
Passo 6
Atalho útil para a prova (fórmula que você deve decorar e usar para economizar tempo): escrever a raiz como potência
A regra do poder (power rule) diz que, para
com
real apropriado, temos
Aplicando com
obtemos
o mesmo resultado, válido para
. Exemplo rápido para fixar: se
então
.
Passo 7
Resumo prático e incentivo: na prova você pode ou (a) usar a definição e racionalizar a diferença de raízes (método seguro, sempre dá certo) ou (b) reconhecer
e aplicar a regra do poder diretamente. Lembre-se de mencionar o domínio: a fórmula final só vale para
; em
a derivada não existe.