Calcule g^{\prime}(x), sendo g dada por
(d) g(x)=\sqrt[2]{x}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada g^{\prime}(x) da função dada. A função fornecida é
g(x)=\sqrt[2]{x}.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A função é a raiz quadrada principal de x.
  • A raiz quadrada real está definida para x\ge 0.
  • Preciso encontrar g^{\prime}(x), ou seja, a derivada de g em função de x.

Passo 2

Recordando a definição de derivada (a ferramenta básica que sempre funciona): para uma função g definida em torno de um ponto x,
g^{\prime}(x)=\lim_{h\to 0}\frac{g(x+h)-g(x)}{h},
quando esse limite existir. Aqui h é o incremento na variável x e o quociente representa a taxa média de variação; ao tomar h\to 0 obtemos a taxa instantânea (a derivada).

Passo 3

Aplicando a definição à nossa g(x)=\sqrt{x} (vou usar notação curta \sqrt{x} para \sqrt[2]{x}):
\frac{g(x+h)-g(x)}{h}=\frac{\sqrt{x+h}-\sqrt{x}}{h}.
Esse quociente tem a forma 0/0 quando h\to 0, então precisamos manipular algebricamente para calcular o limite. Uma técnica clássica para expressões com raízes é racionalizar pelo conjugado: multiplicamos numerador e denominador por \sqrt{x+h}+\sqrt{x}. Fazendo isso obtemos
\frac{\sqrt{x+h}-\sqrt{x}}{h}\cdot\frac{\sqrt{x+h}+\sqrt{x}}{\sqrt{x+h}+\sqrt{x}} =\frac{( \sqrt{x+h})^{2}-(\sqrt{x})^{2}}{h\bigl(\sqrt{x+h}+\sqrt{x}\bigr)}.

Passo 4

Continuando a simplificação do numerador:
(\sqrt{x+h})^{2}-(\sqrt{x})^{2}=x+h-x=h.
Substituindo de volta:
\frac{\sqrt{x+h}-\sqrt{x}}{h}=\frac{h}{h\bigl(\sqrt{x+h}+\sqrt{x}\bigr)} =\frac{1}{\sqrt{x+h}+\sqrt{x}}.
Agora tomamos o limite quando h\to 0:
g^{\prime}(x)=\lim_{h\to 0}\frac{1}{\sqrt{x+h}+\sqrt{x}}=\frac{1}{2\sqrt{x}},
desde que a expressão faça sentido — ou seja, desde que \sqrt{x} exista e seja diferente de 0 no denominador como parte do limite.

Passo 5

Comentário sobre domínio e pontos especiais: a dedução acima vale para pontos x>0, porque para tais x temos \sqrt{x}>0 e a expressão final é finita. Para x<0 a função g não está definida (no conjunto dos reais), portanto não faz sentido falar em derivada real ali. Para x=0 podemos checar a derivada lateral direita:
\lim_{h\to 0^{+}}\frac{\sqrt{h}-0}{h}=\lim_{h\to 0^{+}}\frac{1}{\sqrt{h}}=+\infty,
logo não existe derivada finita em x=0. Conclusão: g é diferenciável para x>0 e não é diferenciável em x=0.

Passo 6

Atalho útil para a prova (fórmula que você deve decorar e usar para economizar tempo): escrever a raiz como potência
g(x)=x^{1/2}.
A regra do poder (power rule) diz que, para f(x)=x^{n} com n real apropriado, temos
f^{\prime}(x)=n x^{n-1}.
Aplicando com n=\tfrac{1}{2} obtemos
g^{\prime}(x)=\tfrac{1}{2}x^{-1/2}=\frac{1}{2\sqrt{x}},
o mesmo resultado, válido para x>0. Exemplo rápido para fixar: se h(x)=x^{3/2} então h^{\prime}(x)=\tfrac{3}{2}x^{1/2}=\tfrac{3}{2}\sqrt{x}.

Passo 7

Resumo prático e incentivo: na prova você pode ou (a) usar a definição e racionalizar a diferença de raízes (método seguro, sempre dá certo) ou (b) reconhecer x^{1/2} e aplicar a regra do poder diretamente. Lembre-se de mencionar o domínio: a fórmula final só vale para x>0; em x=0 a derivada não existe.

Resposta

\displaystyle g^{\prime}(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}} para x>0.\nA derivada não existe em x=0.

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