Uma matriz simétrica é uma matriz que coincide com sua transposta. Note que, necessariamente, toda matriz simétrica deve ser quadrada. Suponha que
seja uma matriz quadrada de ordem
. Que condição deve ser satisfeita pelos elementos
para que
seja simétrica?
Passo 1
O enunciado dá uma matriz quadrada
de ordem
e pede: qual condição devem satisfazer os elementos
para que
seja simétrica (isto é, coincida com sua transposta)?\n
Informações relevantes dadas: é quadrada de ordem
; a definição de matriz simétrica é que
coincide com sua transposta.
Informações relevantes dadas:
Passo 2
Vamos lembrar o que é a transposta de
. A transposta de
é a matriz
cuja entrada na linha
e coluna
é a entrada
a_{ji})) de
. Em símbolos:
Isso significa, na prática, que para obter
trocamos a posição dos índices: o elemento que estava em
em
passa para
em
.
Passo 3
A matriz
é simétrica quando ela é igual à sua transposta, ou seja, quando
Igualdade de matrizes significa igualdade entrada a entrada. Portanto, igualar
e
dá a condição entrada a entrada
Explanação: se para toda posição
o número que está em
é o mesmo que o que está em
(que é
), então as duas matrizes são idênticas. E vice-versa: se
então necessariamente
para todos os índices.
Passo 4
Uma observação prática (útil na prova): não é preciso verificar todos os pares
. Como a diagonal tem
automaticamente, basta conferir que os elementos acima da diagonal coincidem com os correspondentes abaixo da diagonal. Em outras palavras, é equivalente exigir
Isso reduz o trabalho de verificação na hora de olhar uma matriz.
Passo 5
Exemplo concreto para fixar (faça igual na prova): uma matriz
é simétrica se, e somente se,
. Logo a forma geral de uma
simétrica é
com
quaisquer escalares.]
Passo 6
Resumo prático e dica de prova: quando pedirem verificar simetria, escreva mentalmente ou no papel
e então compare com
. Se para todo par de índices aparecem as igualdades
, a matriz é simétrica. Respire fundo — você já sabe o que checar e é rápido de verificar.