Uma matriz simétrica é uma matriz que coincide com sua transposta. Note que, necessariamente, toda matriz simétrica deve ser quadrada. Suponha que A=\left[a_{i j}\right] seja uma matriz quadrada de ordem n. Que condição deve ser satisfeita pelos elementos a_{i j} para que A seja simétrica?

Passo 1

O enunciado dá uma matriz quadrada A=[a_{ij}] de ordem n e pede: qual condição devem satisfazer os elementos a_{ij} para que A seja simétrica (isto é, coincida com sua transposta)?\n
Informações relevantes dadas: A é quadrada de ordem n; a definição de matriz simétrica é que A coincide com sua transposta.

Passo 2

Vamos lembrar o que é a transposta de A. A transposta de A é a matriz A^{T} cuja entrada na linha i e coluna j é a entrada a_{ji})) de A. Em símbolos:
A^{T}=[a_{ji}].
Isso significa, na prática, que para obter A^{T} trocamos a posição dos índices: o elemento que estava em (i,j) em A passa para (j,i) em A^{T}.

Passo 3

A matriz A é simétrica quando ela é igual à sua transposta, ou seja, quando
A = A^{T}.
Igualdade de matrizes significa igualdade entrada a entrada. Portanto, igualar A e A^{T} dá a condição entrada a entrada
a_{ij} = a_{ji}\quad\text{para todo }i,j\in\{1,\dots,n\}.
Explanação: se para toda posição (i,j) o número que está em A é o mesmo que o que está em A^{T} (que é a_{ji}), então as duas matrizes são idênticas. E vice-versa: se A=A^{T} então necessariamente a_{ij}=a_{ji} para todos os índices.

Passo 4

Uma observação prática (útil na prova): não é preciso verificar todos os pares (i,j). Como a diagonal tem a_{ii}=a_{ii} automaticamente, basta conferir que os elementos acima da diagonal coincidem com os correspondentes abaixo da diagonal. Em outras palavras, é equivalente exigir
a_{ij}=a_{ji}\quad\text{para todo }1\le i<j\le n.
Isso reduz o trabalho de verificação na hora de olhar uma matriz.

Passo 5

Exemplo concreto para fixar (faça igual na prova): uma matriz 2\times2
A=\begin{pmatrix}a_{11} & a_{12}\\[4pt] a_{21} & a_{22}\end{pmatrix}
é simétrica se, e somente se, a_{12}=a_{21}. Logo a forma geral de uma 2\times2 simétrica é
\begin{pmatrix}a & b\\[4pt] b & c\end{pmatrix},
com a,a_{11};\;b=a_{12}=a_{21};\;c=a_{22} quaisquer escalares.]

Passo 6

Resumo prático e dica de prova: quando pedirem verificar simetria, escreva mentalmente ou no papel A^{T}=[a_{ji}] e então compare com A=[a_{ij}]. Se para todo par de índices aparecem as igualdades a_{ij}=a_{ji}, a matriz é simétrica. Respire fundo — você já sabe o que checar e é rápido de verificar.

Resposta

a_{ij}=a_{ji} para todo i,j\in\{1,\dots,n\}

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